Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour à tous les deux,

Pour compléter la réponse de Roro : ne pas oublier que si $f, g$ sont deux fonctions convexes et $a \geq 0$ un réel, $\alpha . f + g$ est une fonction convexe.

E.

Le théorème du rang s'écrit :

$$ \dim \textrm{Im} Q + \dim \ker Q = \dim E$$

Tu passes à ta version en associant à ton application linéaire une matrice. Fixe une base de $E$, sa base dual dans $E^*$ et regarde la forme de la matrice représentant $Q$ par rapport à ces deux bases. Tu auras alors la réponse à tes questions.

E.

Bonjour Borassus,

Pourrais-tu définir ce que tu entends par "forme canonique" ? J'ai l'impression que pour toi, il s'agit de ce qu'on appelle "la réduction d'une conique". On part d'une expression de la forme, où $a, b, c, d, e$ sont des réels :
$$ a. x^2 + b.y^2 + c . x + d. y + e = 0 $$
et, par un changement de repère (cartésien), on se retrouve par exemple avec une expression de la forme
$$x^2 - y = 0$$
si la conique dont tu es parti est une parabole. Dans ce cas, il n'y a pas de "forme canonique" pour les polynômes de degré $\geq 3$, puisqu'on ne peut pas leur associer une conique. Pour un polynôme $P(x)$ de degré $\leq 2$, on lui a associé la conique d'équation
$$P(x) - y = 0.$$

Pour ce que tu appelles "la forme canonique" d'un polynôme de degré $3$, je ne comprend pas comment tu choisis $\alpha$. Quel que soit le polynôme $P(x) = a_n . x^n + \ldots + a_0$, et le réel $\alpha$, il existe une, et une seule, suite $a'_0, \ldots, a'_n$ de réels telle que
$$P(x) = a'_n . (x - \alpha)^n + a'_{n-1} . (x - \alpha)^{n-1}+ \ldots + a'_0 $$
donc cela ne me paraît pas très "canonique"...

E.

Bonjour,

Si ! Un espace métrique est toujours séparé. Pour le démontrer, il te suffit que reprendre l'axiome : $d(x, y) = 0$ si, et seulement si, $x = y$. Comme l'a dit Bridgslam dans un précédent poste, il faut vraiment que tu reprennes tes notes de cours.

E.

Bonjour à toi,

Euh... Sans doute une erreur dans la formulation. Tu veux certainement dire pourquoi $f$ n'est pas injective. Si $1$ est une valeur propre, par définition, il existe $x \neq 0$ tel que $f(x) = x$, c'est-à-dire $f(x) - x = 0$, c'est-à-dire $(f - \textrm{Id})(x) = 0$, donc $f - \textrm{Id}$ n'est pas injective.

E.

Bonjour Tilda,

Comment passes-tu de $x > 0$ à $x \geq 1$ ????

E.

Bonjour,

Oui, puisqu'alors la fonction $f$ est définie et continue dans l'intervalle compact $[a, b]$ de $\mathbf{R}$.

E.

Bonjour,

Notons $l$ la limite commune des deux suites et considérons un réel $r > 0$ arbitraire. On doit montrer qu'il existe un entier $\eta$ vérifiant la propriété suivante : si $n \geq \eta$ alors $l - r \leq u_n \leq l + r$. Il s'agit là de la définition de l'expression "$l$ est la limite de la suite $(u_n)$".

On fait l'hypothèse que $l$ est la limite de la suite extraite $(u_{2n})$. Il existe donc un entier $\eta$ satisfaisant la propriété suivante : si $n \geq \eta$ alors $l - r \leq u_{2n} \leq l + r$. On en déduit que pour tout entier pair $n = 2p$, avec $p \geq \eta$, on a

$$(1)  \qquad l - r \leq u_{2p} = u_n \leq l + r, $$

ce qui revient à faire l'hypothèse "$n$ est pair" et "$n \geq 2\eta$.

On fait aussi l'hypothèse que $l$ est la limite de la suite extraite $(u_{2n + 1})$. Il existe donc un entier $\eta'$ satisfaisant la propriété suivante : si $n \geq \eta'$ alors $l - r \leq u_{2n + 1} \leq l + r$. On en déduit que pour tout entier impair $n = 2p + 1$, avec $p \geq \eta'$, on a
$$ (2) \qquad l - r \leq u_{2p + 1} = u_n \leq l + r,$$
ce qui revient à faire l'hypothèse "$n$ est impair" et "$n \geq 2 \eta' + 1$.

Posons $\eta'' = \max \{ 2 \eta' + 1, 2 \eta \}$, et considérons un entier quelconque $n \geq \eta''$. Si $n$ est pair, on a $(1)$, puisque $n \geq \eta'' \geq 2 \eta$. Si $n$ est impair, on a $(2)$, puisque $n \geq \eta'' \geq 2 \eta' + 1$. Ainsi, quel que soit l'entier $n \geq \eta''$ (pair ou impair), on a bien

$$l - r \leq u_n \leq l + r$$

L'entier $\eta''$ satisfait bien la propriété recherchée.

E.

PS : Considérons les trois suites extraites $(u_{3n})$, $(u_{3n + 1})$ et $(u_{3n + 2})$, et faisons l'hypothèse que ces trois suites ont la même limite $l$. Tu peux alors montrer que la suite $(u_n)$ converge vers $l$.

Bonjour tout le monde,

Dans l'article de Wikipédia proposé, je lis qu'une "approximation de l'unité" peut être une "suite généralisée", non nécessairement une "suite usuelle". Avec cette plus grande liberté, on peut démontrer le résultat d'Hiboux pour des fonctions continues définie dans $X$ et à valeurs dans une algèbre de Banach unifère $E$. Il s'agit d'une algèbre de Banach (pour la norme de la convergence uniforme dans $X$), sans élément unité ; mais il existe une approximation de l'unité.

En effet, notons $\mathfrak{K}$ l'ensemble filtrant (pour la relation d'inclusion) des ensembles compacts de $X$. Pour chaque partie compacte $K$, il existe une application continue $f_K$ de $X$ dans $[0, 1]$, à support compact, et telle que $f_K(x) = 1$ pour tout $x \in K$. On démontre ce résultat en remarquant qu'il existe une partition subordonnée de l'unité adaptée au recouvrement $X' - K, X$ du compactifié d'Alexandroff $X'$ de $X$.

Notons $1$ l'élément unité de $E$. La famille $(f_K.1)$, indexée par $\mathfrak{K}$, est une approximation de l'unité.

E.

Bonjour,

Non. Reprend la définition de la convergence "en norme". Le fait que la suite des normes $(||u_n ||)$ converge vers un réel $\ell\neq 0$ n'implique nullement que la suite $(u_n)$ converge. Par exemple, dans l'espace vectoriel $\mathscr{C}([0, 1], \mathbf{C})$ normé par la norme $||f||_{\infty}$, considère la suite des applications $u_n \colon x \mapsto e^{2\pi i n x}$ $(n \in \mathbf{N})$. Quel que soit $n \geq 0$, on a $|| u_n || = 1$, mais la suite $(u_n)$ ne converge pas.

Pour que la suite $(u_n)$ converge vers une fonction limite $u$ (pour la norme de la convergence uniforme), il faut et il suffit que $||u_n - u||_{\infty} \rightarrow 0$ lorsque $n \rightarrow + \infty$

E.

Bonjour,

Es-tu sûr de ne pas avoir mal recopier l'exercice ? Pour $n = 2$, cela ne marche pas :

$$(3 - \sqrt{5})^2 + (3 + \sqrt{5})^2 = 3^2 - (\sqrt{5})^2 + 3^2 + 2.3\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 2 ( 3^2 + 3\sqrt{5})$$

Re-bonjour !

(Je me connecte sur mon compte, ce sera plus simple pour modifier mes erreurs, et je tiens à remercier le gentil modo qui a modifier mon code )

En fait, j'ai fait une faute de frappe. Je voulais dire que la fonction $x \mapsto \ln_0(-x^2)$, elle, était bien définie. Je suis désolé si je n'ai pas été clair. Ce que je voulais dire, c'était que, comme on l'a dit plus haut, la question du nombre dérivée de $x \mapsto \ln(- x^2)$ pour $x >0$ n'a pas de sens, car $\ln(-x^2)$ n'existe pas pour $x < 0$. Mon point était que si, malgré cette erreur, tu te retrouvais avec une "formule" correcte pour $x \neq 0$, c'était tout simplement parce qu'en réalité, tu avais calculé la dérivée de la fonction composée $x \mapsto \ln_0(- x^2)$, où l'on a défini $\ln_0$ par l'intégrale :

$$ \ln_0(y) = \int_{-1}^y \frac{1}{x} \textrm{d}x = \ln(- y)$$

qui est parfaitement définie pour tout $y < 0$.

E.