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Marion18

Invité

Groupe localement compact.

Bonjour à tous,

Est ce que si [tex]G[/tex] est un groupe de type fini, alors [tex]G[/tex] est localement compact à base dénombrable ?

Si la réponse est non, connaissez vous un exemple d'un groupe [tex]G[/tex] de type fini qui n'est pas localement compact ou qui n'est pas à base dénombrable ?

Merci d'avance.

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Groupe localement compact.

Bonjour,
Quelle topologie mets-tu sur ton groupe ?
$O_2(\mathbb R)$ avec sa topologie usuelle est compact, à base dénombrable, et ne me semble pas de type fini ...

Dernière modification par Michel Coste (21-10-2023 17:12:39)

Marion18

Invité

Re : Groupe localement compact.

Bonjour Michel,

Je ne sais pas quelle topologie mettre sur [tex]G[/tex]. Je pense qu'il faut mettre la topologie discrète.
Qu'est ce que, [tex]O_2 ( \mathbb{R} )[/tex] ?
Ici, tu me donnes un exemple de groupe qui n'est pas de type fini, mis qui est à base dénombrable. Moi, c'est l'inverse que je cherche. Je cherche un exemple d'un groupe [tex]G[/tex] de type fini qui n'est pas à base dénombrable  ( ou qui n'est pas localement compact ).

Merci d’avance.

Eust_4che

Membre

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Re : Groupe localement compact.

Bonjour tout le monde,

Qu'est ce que $O_2(\mathbb{R})$?

Il s'agit matrices orthogonales à coefficients dans $\mathbb{R}$ et de taille $2 \times 2$.

Je suppose qu'il est question de groupes topologiques séparés. La réponse est non : l'article de Wikipédia

https://fr.wikipedia.org/wiki/Topologie … nt_espacés

parle d'une structure de groupe topologique séparé sur $\mathbb{Z}$ (qui est évidemment de type fini) qui n'est pas localement compact (cf. "propriétés")

Par contre, si la topologie est discrète, ton groupe topologique (comme n'importe quel espace topologique) est localement compact.

E.

Dernière modification par Eust_4che (21-10-2023 17:57:57)

Marion18

Invité

Re : Groupe localement compact.

Merci beaucoup Eust_4che.  :-)
Si on munit [tex]G[/tex] de la topologie discrète, est ce que si [tex]G[/tex] est un groupe de type fini, alors [tex]G[/tex] est à base dénombrable ?
Merci infiniment pour vos réponses.

Eust_4che

Membre

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Messages : 184

Re : Groupe localement compact.

Bonjour,

Si $G$ est muni de la topologie discrète, il est métrisable. La condition "$G$ est à base dénombrable" équivaut à donc la condition "il existe une partie dénombrable $D$ partout dense", ie $G$ est dénombrable. Tout revient à déterminer s'il existe des groupes finiment engendrés et non dénombrables. Ce n'est pas possible si le groupe est abélien ; si le groupe n'est pas abélien, je ne sais pas :-/

E.