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RedxClaw

Invité

Base duale d'un espace vectoriel à dimension finie

Bonjour le Forum,

Suite à un examen d'algèbre et de géométrie analytique, une question m'est venue à l'esprit : Est-il possible de trouver la base dual de l'espace vectoriel [tex](\mathbb{C}^2, \mathbb{R}, +, *)[/tex] si la base primal de ce dernier est [tex]X = \{(1,0), (i,0), (0,1), (0,i)\}[/tex] ??
J'ai cherché la base duale [tex]X^* = \{x^{*i}\}_{i=1}^n[/tex] de [tex]X[/tex] grâce à la relation [tex][x_i, x^{*j}] = \delta_i^j[/tex] mais j'arrive à un système surcontraint.

Existerait-il un critère impliquant l'inexistance d'une base duale de ce genre d'espace vectoriel ? Ou alors pouvez vous m'aider à trouver la base duale associée à [tex]X[/tex] ??

J'ai essayé, et je sais déjà que pour avoir un élément du duale, ce dit-élément aura 2 composantes.
Cependant, on arrive après calculs (qui sont exacts, j'en suis sûr) que [tex]i = 0[/tex], ce qui, on va se le convenir, est impossible et un non-sens total ^^

Eust_4che

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Re : Base duale d'un espace vectoriel à dimension finie

Bonjour,

Toute base $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ d'un espace vectoriel $E$ sur $K$ possède une base duale ; en effet, on montre facilement que l'application $f \longmapsto (f(e_1), \ldots, f(e_n))$ de $E^*$ dans $K^n$ est injective, donc un isomorphisme d'espaces vectoriels. Si on note $f^{-1}$ l'isomorphisme d'espaces vectoriels réciproque, on a
\begin{align*}
e_1^* & = & f^{-1}((1, 0, \ldots, 0)) \\
e_2^* & = & f^{-1}((0, 1, \ldots, 0)) \\
& \vdots & \\
e_n^* & = & f^{-1}((0, 0, \ldots, 1))
\end{align*}
Et, en fait, on a terminé. Maintenant, dans ton cas, on peut définir sur $\mathbb{C}^2$ un produit scalaire $(z_1, z_2), (z'_1, z'_2) \longmapsto Re(z_1)Re(z'_1) + Im(z_1)Im(z'_1) + Re(z_2)Re(z'_2) + Im(z_2)Im(z'_2)$, en s'inspirant du produit scalaire de $\mathbb{R}^4$, ce qui nous permet d'avoir un isomorphisme $f$ de $\mathbb{C}^2$ sur son dual. Comme la base que tu propose est orthonormée pour ce produit scalaire, chacune des images par $f$ du vecteur de la base est son vecteur dual. Par exemple, $f(i, 0)$ est la forme linéaire $(z_1, z_2) \longmapsto Im(z_1)$ et $f(0, 1)$ est la forme linéaire $(z_1, z_2) \longmapsto Re(z_2)$

E.

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Base duale d'un espace vectoriel à dimension finie

J'ai cherché la base duale [tex]X^* = \{x^{*i}\}_{i=1}^n[/tex] de [tex]X[/tex] grâce à la relation [tex][x_i, x^{*j}] = \delta_i^j[/tex] mais j'arrive à un système surcontraint.

Bonjour,
Comment t'es-tu débrouillé ?
Ça va pourtant tout seul :
[tex]x^{*1}((a+ib,c+id))=x^{*1}(ax_1+bx_2+cx_3+dx_4)=a[/tex].
Je te laisse poursuivre pour les autres [tex]x^{*j}[/tex].
Il n'y a nullement besoin de faire intervenir un produit scalaire dans l'histoire.