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#1 04-01-2024 22:07:00
- tilda
- Membre
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- Messages : 140
Critère de Bertrand pour intégrale impropre
Bonsoir
on a x>0 et t>0
s'il vous plait , on a $|ln(t)|^n t^{x-1} exp(-t)$ est équivalent en 0+ à $|ln(t)|^n t^{x-1}$ pourquoi est-ce que l'intégrale de 0 à 1 de cet équivalent est convergente ?
je pense à Bertrand , mais je n'arrive pas à une solution , pourriez-vous m'aider ?
pour Bertrand , on pose l'intégrale de 0 à 1/e ( je ne sais pas l'histoire de ce e ?) qui est inférieur à 1 ; on peut donc étaler l'intégrale à 0 à 1 pas de souci n'est ce pas ?
merci beaucoup
Dernière modification par tilda (04-01-2024 22:07:31)
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#2 05-01-2024 14:35:01
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 801
Re : Critère de Bertrand pour intégrale impropre
Bonjour,
L'intégrale $\int_0^1 |\ln(t)|^n \, t^{x-1} \, \mathrm dt$ est impropre en $0$ mais aussi en $1$ si $n<0$... mais j'imagine que $n\geq 0$.
Dans ce cas, tu peux effectivement utiliser les intégrales de Bertrand : tu dois être dans le bon cadre !
Concernant l'histoire du $1/\mathrm e$, tu fais peut être référence à cette page : https://www.bibmath.net/dico/index.php? … trand.html
C'est sans doute juste pour éviter d'avoir à regarder la question en $t=1$ lorsque $\ln(t)$ s'annule... (dans ton cas, ceci poserait un problème lorsque $n<0$).
Roro.
Dernière modification par Roro (05-01-2024 14:35:57)
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#3 05-01-2024 19:40:54
- tilda
- Membre
- Inscription : 18-02-2023
- Messages : 140
Re : Critère de Bertrand pour intégrale impropre
Bonsoir
oui n>0
comment faire avec Bertrand ?
en fait , ce que j'ai fait c'est d'étudier l'intégrale de 0 à 1 puis de 1 à l'infini ; problème en 0+ et l'infini
Ma question porte sur les croissances comparées : même si on a une puissance n>0 en ln on peut toujours affirmer que exp ( je parle de $t^{x-1}$ ) qui l'emporte en 0+ par exemple ?
ce que je sais géométriquement pour n=1 on a l'exp qui l'emporte
mais si n>1 est ce que ça reste vraie ? par quelle approche ?
Merci énormément
Dernière modification par tilda (05-01-2024 21:24:35)
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#8 08-01-2024 15:40:22
- Eust_4che
- Membre
- Inscription : 09-12-2021
- Messages : 184
Re : Critère de Bertrand pour intégrale impropre
Ben... C'est vrai pour tout $x \geq 1$ du coup !
Tu passes de "$x > 0$" à "$1 - x < 1$" simplement en utilisant le fait que $x > 0$ si, et seulement si, $-x < 0$ et que $1 + r < 1 + s$ si, et seulement si, $r < s$
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