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Hibou1111

Invité

Approximation de l'unité

Salut,

On sait que certains algèbres de Banach [tex]A[/tex] n'ont pas d'élément unité  [tex]1_A [/tex] pour la multiplication pointwise. Exemple, [tex]A = C_0 ( X ) [/tex], l'espace des fonctions continues sur [tex]X[/tex] et s'annulant à l'infini, où [tex]X[/tex] est un espace topologique localement compact.

Est ce que, alors dans ce cas là, [tex]A = C_0 ( X ) [/tex] possède une approximation de l'unité ?

Pour savoir ce que c'est que une approximation de l'unité, voir ici, https://www.math.univ-toulouse.fr/~bouc … lution.pdf , page, [tex]2[/tex] et [tex]3[/tex].

Merci pour votre aide.

Hibou1111

Invité

Re : Approximation de l'unité

Voir ici aussi : https://fr.wikipedia.org/wiki/Approxima … unit%C3%A9

Glozi

Invité

Re : Approximation de l'unité

Bonsoir,
Bon ici le produit n'est pas le produit de convolution mais le produit usuel des fonctions $(fg)(x)=f(x)g(x)$.

On prend $X$ non dénombrable (par exemple $X=\mathbb{R}$) et on munit $X$ de la topologie discrète. Alors $X$ est localement compact. Les compacts de $X$ sont exactement les ensembles finis. On suppose par l'absurde que $(\varphi_n)_{n\geq 0}$ est une approximation de l'unité de $\mathcal{C}_0(X)$.

Pour $\varepsilon=1/2$ alors pour chaque $n$ on a un $K_n\subset X$ un ensemble fini tel que si $x\in X\setminus K_n$ alors $|\varphi_n(x)|<1/2$ (on utilise le fait que $\varphi_n$ est un élement de $\mathcal{C}_0(X)$.

Choisissons $a\in X\setminus (\bigcup_{n\geq 0} K_n)$ c'est possible car $X$ est non dénombrable alors que les $K_n$ sont finis.
Alors pour tout $n\in \mathbb{N}$ on a $|\varphi_n(a)|<1/2$.

Maintenant on considère
$$\begin{array}{ccccc}
\delta_a & : & X & \to & \mathbb{R}\\
& & x & \mapsto & \left\{\begin{array}{cc}1 & \text{ si }x=a\\ 0 & \text{ si }x\neq a\end{array}\right.
\end{array}$$

Alors puisque $(\varphi_n)_n$ est une approximation de l'unité et puisque $\delta_a\in \mathcal{C}_0(X)$ on a $\varphi_n \delta_a \xrightarrow[n\to\infty]{}\delta_a$ en particulier $\varphi_n(a)\xrightarrow[n\to\infty]{} 1$, ce qui est absurde puisque $|\varphi_n(a)|<1/2$.

Je pense que ta propriété est vraie si $X$ est supposé en plus séparable (pour construire une suite exhaustive de compacts), je vois ensuite une preuve qui repose sur le lemme d'Urysohn (mais je ne l'ai pas écrite).

Bonne soirée

Hibou1111

Invité

Re : Approximation de l'unité

Merci beaucoup Glozi pour cette très élégante démonstration. :-)

Je pense que ta propriété est vraie si $X$ est supposé en plus séparable (pour construire une suite exhaustive de compacts), je vois ensuite une preuve qui repose sur le lemme d'Urysohn (mais je ne l'ai pas écrite).

Est ce que tu peux me rédiger ici cette démonstration que tu as hésitée d'écrire et qui repose sur le lemme d'Urysohn lorsque [tex]X[/tex] est séparable ?  :-)

Merci infiniment.

Eust_4che

Membre

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Messages : 184

Re : Approximation de l'unité

Bonjour tout le monde,

Dans l'article de Wikipédia proposé, je lis qu'une "approximation de l'unité" peut être une "suite généralisée", non nécessairement une "suite usuelle". Avec cette plus grande liberté, on peut démontrer le résultat d'Hiboux pour des fonctions continues définie dans $X$ et à valeurs dans une algèbre de Banach unifère $E$. Il s'agit d'une algèbre de Banach (pour la norme de la convergence uniforme dans $X$), sans élément unité ; mais il existe une approximation de l'unité.

En effet, notons $\mathfrak{K}$ l'ensemble filtrant (pour la relation d'inclusion) des ensembles compacts de $X$. Pour chaque partie compacte $K$, il existe une application continue $f_K$ de $X$ dans $[0, 1]$, à support compact, et telle que $f_K(x) = 1$ pour tout $x \in K$. On démontre ce résultat en remarquant qu'il existe une partition subordonnée de l'unité adaptée au recouvrement $X' - K, X$ du compactifié d'Alexandroff $X'$ de $X$.

Notons $1$ l'élément unité de $E$. La famille $(f_K.1)$, indexée par $\mathfrak{K}$, est une approximation de l'unité.

E.

Dernière modification par Eust_4che (22-10-2023 10:06:36)