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Borassus

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ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

Bonjour,

On apprend en Seconde et en Première que tout polynôme du second degré $ax^2 + bx + c$ peut être retranscrit sous sa forme canonique $a(x - \alpha)^2 + \beta$, avec $\alpha = -\dfrac {b}{2a}$ (abscisse de l'axe de symétrie de la parabole) et $\beta = f(\alpha) = c - \dfrac{b^2}{4a}$, ordonnée du sommet de la parabole.
(Je tiens à cette formulation $c - \dfrac{b^2}{4a}$ de $\beta$ car elle a une traduction géométrique effective.)

Par souci d'homogénéité et de cohérence — quelle est la différence entre ces deux termes ? —, j'ai voulu vérifier si les polynômes du 1er et du 3ème degré peuvent aussi être exprimés sous une "forme canonique".

Pour le 1er degré, la transcription est aisée en écrivant que $ax + b = a\left(x + \dfrac b a \right) + 0$.
Ce qui montre que, hé oui, une droite représentée dans un repère a un centre de symétrie, c'est-à-dire "un milieu", de coordonnées $\left(-\dfrac b a,0\right)$.  :-)

Le 3ème degré m'a donné, depuis longtemps, davantage de fil à retordre, car j'essayais, sans succès, de reproduire une démarche similaire à celle du second degré (mettre en facteur $a$ et considérer qu'on a le début du développement d'un cube).

J'ai donc finalement traité hier soir le problème à l'envers, et ai considéré que, si forme canonique il y a, elle doit nécessairement avoir pour structure $a(x - \alpha)^3 + \beta(x - \alpha) +\gamma$.

En développant cette expression, et en l'identifiant avec $ax^3 + bx^2 + cx + d$, j'aboutis à   $\alpha = - \dfrac b {3a}$  ;  $\beta = c - 3a\alpha^2$  ;  $\gamma = d + a\alpha^3 + \beta \alpha$

Vérification sur GeoGebra : les deux courbes se confondent, quelle que soit la combinaison des coefficients. Ouf ! Enfin !

C'est intellectuellement plaisant :

• Le centre de symétrie de la courbe d'un polynôme du premier degré $[ ax + b ]$  a pour abscisse $- \dfrac b {1a}$.

• L'axe de symétrie de la courbe d'un polynôme du second degré $[ ax^2 + bx + c ]$  a pour abscisse $- \dfrac b {2a}$.

• Le centre de symétrie de la courbe d'un polynôme du troisième degré $[ ax^3  + bx^2 + cx + d ]$  a pour abscisse $- \dfrac b {3a}$.

Pour le quatrième degré, l'obtention d'une "forme canonique" me semble plus difficile car la courbe d'un polynôme du 4ème degré n'a pas toujours un axe de symétrie.
Si ses coefficients sont tels que la courbe est symétrique, l'abscisse de son axe de symétrie est très probablement $- \dfrac b {4a}$, et la forme canonique s'écrit très probablement $a(x - \alpha)^4 + \beta(x - \alpha)^3 + \gamma(x - \alpha)^2 + \delta(x - \alpha) + \epsilon$

Question donc : Quel est le critère pour que la courbe d'un polynôme du 4ème degré $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ présente un axe de symétrie ?
Question subsidiaire : Est-ce que la présence d'un axe de symétrie est nécessaire pour obtenir une forme canonique valable quels que soient les coefficients ?

Bonne journée.
Bien cordialement,
Borassus-Duracell  :-)

Dernière modification par Borassus (20-02-2024 16:38:23)

Eust_4che

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Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

Bonjour Borassus,

Pourrais-tu définir ce que tu entends par "forme canonique" ? J'ai l'impression que pour toi, il s'agit de ce qu'on appelle "la réduction d'une conique". On part d'une expression de la forme, où $a, b, c, d, e$ sont des réels :
$$ a. x^2 + b.y^2 + c . x + d. y + e = 0 $$
et, par un changement de repère (cartésien), on se retrouve par exemple avec une expression de la forme
$$x^2 - y = 0$$
si la conique dont tu es parti est une parabole. Dans ce cas, il n'y a pas de "forme canonique" pour les polynômes de degré $\geq 3$, puisqu'on ne peut pas leur associer une conique. Pour un polynôme $P(x)$ de degré $\leq 2$, on lui a associé la conique d'équation
$$P(x) - y = 0.$$

Pour ce que tu appelles "la forme canonique" d'un polynôme de degré $3$, je ne comprend pas comment tu choisis $\alpha$. Quel que soit le polynôme $P(x) = a_n . x^n + \ldots + a_0$, et le réel $\alpha$, il existe une, et une seule, suite $a'_0, \ldots, a'_n$ de réels telle que
$$P(x) = a'_n . (x - \alpha)^n + a'_{n-1} . (x - \alpha)^{n-1}+ \ldots + a'_0 $$
donc cela ne me paraît pas très "canonique"...

E.

Dernière modification par Eust_4che (20-02-2024 12:41:24)

Michel Coste

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Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

J'ai l'impression qu'on mélange un peu tout, là.
Borassus, tu as l'air de te limiter aux polynômes en une seule variable. Dans ce cas, il y a une manip bien connue (souvent appelée "transformation de Tschirnhaus") pour faire disparaître au moyen d'une translation le terme de degré $n-1$ d'un polynôme de degré $n$ : tout simplement, si $P=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$, alors en posant $x=x'-\dfrac{a_{n-1}}{na_n}$, on n'a plus de terme de degré $n-1$ en la variable translatée $x'$.
Mais quand je parlais d'équation de degré 2 pour une conique, il s'agissait bien évidemment de polynômes en deux variables. C'est bien ça, la traduction géométrie-algèbre de Descartes ! L'équation générale d'une conique est
$$ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0\;.$$(Eust_4che a oublié un terme). Il y a six coefficients, qu'on peut multiplier par un même facteur non nul sans changer la conique. Donc 5 degrés de liberté, ce qui donne le résultat suivant :
Par cinq points du plan il passe toujours une conique et en général (quand il n'y a pas trois points alignés parmi les cinq), cette conique est unique et non dégénérée (pas réunion de deux droites).

Borassus

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Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

Bonjour Eust_4che

Oh là, je ne vais pas si loin (ce que tu écris dépasse mes faibles connaissances :-) !!

Comme on explique aux lycéens que tout polynôme du second degré se met sous sa "forme canonique" $a(x - \alpha)^2 + \beta$ (sans préciser ce que signifie "canonique" ; je ne le sais pas moi-même), ce qui, graphiquement, se traduit par une translation de la courbe $y = ax^2$, horizontalement de $\alpha$ (vers la droite si $\alpha > 0$ , vers la gauche si $\alpha < 0$), et verticalement de $\beta$ (vers le haut si $\beta > 0$ et vers le bas si $\beta < 0$), j'ai voulu reproduire la même logique avec un polynôme du 3ème degré :
translation horizontale (par $\alpha$) et translation verticale (par $\gamma$) de la courbe $y = ax^3 + \beta x$ centrée sur l'origine.
(Si $a$ et $\beta$ sont de même signe, la courbe est strictement monotone ; si $a$ et $\beta$ sont de signes contraires, la courbe présente deux extrema.)

Dernière modification par Borassus (20-02-2024 14:25:11)

Borassus

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Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

Même réponse à toi, Michel.

Je me place à un niveau beaucoup plus bas (beaucoup plus proche de mes élèves lycéens, à qui je voulais montrer que la démarche existant pour le second degré peut être aussi appliquée au premier et au troisième degrés) !

Qu'écrivais-tu à propos du titre du forum "Entraide collège / lycée ?  :-)

Michel Coste

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Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

Je pensais être encore dans la discussion sur la parabole.
Pour la question de la symétrie :
1) Le graphe d'un polynôme $a_{2k}x^{2k}+a_{2k-1}x^{2k-1}+\cdots+ a_0$ avec $a_{2k}\neq 0$ présente un axe de symétrie vertical si et seulement si la translation $x=x'-\dfrac{a_{2k-1}}{2ka_{2k}}$ fait disparaître tous les termes de degré impair en $x'$ (elle fait toujours disparaître le terme en $(x')^{2k-1}$).
2) Le graphe d'un polynôme $a_{2k+1}x^{2k+1}+a_{2k}x^{2k}+\cdots+ a_0$ avec $a_{2k+1}\neq 0$ présente un centre de symétrie si et seulement si la translation $x=x'-\dfrac{a_{2k}}{(2k+1)a_{2k+1}}$ fait disparaître tous les termes de degré pair en $x'$, sauf éventuellement le terme constant  (elle fait toujours disparaître le terme en $(x')^{2k}$).

Borassus

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Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

Pour le quatrième degré, l'obtention d'une "forme canonique" me semble plus difficile car la courbe d'un polynôme du 4ème degré n'a pas toujours un axe de symétrie.
Si ses coefficients sont tels que la courbe est symétrique, l'abscisse de son axe de symétrie est très probablement $- \dfrac b {4a}$, et la forme canonique s'écrit très probablement $a(x - \alpha)^4 + \beta(x - \alpha)^3 + \gamma(x - \alpha)^2 + \delta(x - \alpha) + \epsilon$

Si la courbe du polynôme admet un axe de symétrie, je pense que la "forme canonique" devra plutôt s'écrire sous la forme $a(x - \alpha)^4 + \gamma(x - \alpha)^2 + \epsilon$ de façon à reproduire la courbe $y = ax^4 +\gamma x^2 + \epsilon$, centrée sur l'axe des ordonnées.

Borassus

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Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

Que signifie d'ailleurs "forme canonique" pour $a(x - \alpha)^2 + \beta$ ?

J'explique qu'il s'agit d'une forme standard qui permet de comparer tous les polynômes du second degré — coefficient du terme de second degré, abscisse de l'axe de symétrie, ordonnée du sommet — , quelle que soit leur écriture, et donne comme exemple le fait que tous les passeports du monde sont, semble-t-il, imprimés selon un format unique.

Mais "canonique" a apparemment un sens particulier ?

Wiktionnaire : « (Mathématiques) Forme censément la plus simple et en tout cas à laquelle se ramènent toutes les expressions d’un certain type, ce qui permet de les distinguer et de les classifier. »

Dernière modification par Borassus (20-02-2024 15:50:12)

Borassus

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Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

1) Le graphe d'un polynôme $a_{2k}x^{2k}+a_{2k-1}x^{2k-1}+\cdots+ a_0$ avec $a_{2k}\neq 0$ présente un axe de symétrie vertical si et seulement si la translation $x=x'-\dfrac{a_{2k-1}}{2ka_{2k}}$ fait disparaître tous les termes de degré impair en $x'$ (elle fait toujours disparaître le terme en $(x')^{2k-1}$).
2) Le graphe d'un polynôme $a_{2k+1}x^{2k+1}+a_{2k}x^{2k}+\cdots+ a_0$ avec $a_{2k+1}\neq 0$ présente un centre de symétrie si et seulement si la translation $x=x'-\dfrac{a_{2k}}{(2k+1)a_{2k+1}}$ fait disparaître tous les termes de degré pair en $x'$, sauf éventuellement le terme constant  (elle fait toujours disparaître le terme en $(x')^{2k}$).

Bonjour,

Les deux règles énoncées par Michel me sont précieuses.
Merci, Michel ! (Chacune de tes réponses me fait avancer dans mes connaissances et compréhensions, que je peux ensuite transmettre, en mentionnant à chaque fois le site bibmath.net, et en accentuant ce que mes échanges sur les forums m'apportent, et apportent sans doute à ceux qui suivent nos discussions.)

L'application de ces deux règles aux polynômes de degré 1, 2, 3 et 4 permet la généralisation suivante, pédagogiquement très plaisante :

• le graphe de tout polynôme de degré 1, $ax + b$, possède un centre de symétrie, d'abscisse $- \dfrac b {1a}$, et le polynôme peut être retranscrit sous sa forme canonique $a(x - \alpha)^1 + \beta$, avec $\alpha = - \dfrac b {1a}$ , et $\beta = 0$ ;

  
  

  (A ce propos, on présente toujours la droite $y = ax + b$ comme étant la translation verticale de $b$ de la droite $y = ax$ ; on voit ici que la droite peut être aussi présentée comme une translation horizontale de $- \dfrac b a$ de cette droite $y = ax$.)

• le graphe de tout polynôme de degré 2, $ax^2 + bx + c$, possède un axe de symétrie vertical d'abscisse $- \dfrac b {2a}$, et le polynôme peut être retranscrit sous sa forme canonique $a(x - \alpha)^2 + \beta$ , avec $\alpha = - \dfrac b {2a}$ , et  $\beta = c - \dfrac {b^2} {4a}$ ;

• le graphe de tout polynôme de degré 3, $ax^3 + bx^2 + cx + d$, possède un centre de symétrie d'abscisse $- \dfrac b {3a}$ , et le polynôme peut être retranscrit sous sa forme canonique $a(x - \alpha)^3 + \beta(x - \alpha) + \gamma$ , avec  $\alpha = - \dfrac b {3a}$ , $\beta = c - 3a\alpha^2$ , $\gamma = d + a\alpha^3 + \beta\alpha$ ;

• le graphe de tout polynôme de degré 4, $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$, dont les coefficients vérifient l'égalité $b^3 - 4abc + 8a^2d = 0$, possède un axe de symétrie vertical d'abscisse $- \dfrac b {4a}$ , et le polynôme peut être retranscrit sous sa forme canonique $a(x - \alpha)^4 + \beta(x - \alpha)^2 + \gamma$ , avec $\alpha = - \dfrac b {4a}$ , les expressions de $\beta$ et de $\gamma$ ne présentant pas d'intérêt car déjà trop complexes ;

• plus généralement, le graphe de tout polynôme de degré $n$ dont les coefficients vérifient certaines conditions (qu'il devient rapidement très fastidieux d'établir à la main) possède un centre de symétrie (si le degré $n$ est impair) ou une axe de symétrie vertical (si $n$ est pair), d'abscisse $\alpha = - \dfrac b {na}$, et le polynôme peut être retranscrit sous sa forme canonique qui est un polynôme en $(x - \alpha)$, dont tous les termes sont de puissances impaires de $(x - \alpha)$ si $n$ est impair, ou de puissances paires si $n$ est pair.

Je dis souvent à mes élèves que les formules dont on les charge — je compare ce flot de formules à une benne déversant son contenu sur les pauvres élèves — ne sont, le plus souvent, qu'un cas particulier d'une logique générale, qui, elle, n'a pas véritablement besoin de formule.
En voici un bon exemple !

Merci de votre attention !

Dernière modification par Borassus (21-02-2024 19:17:09)

Zonun

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Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

Tu est un vrai mathématicien Borassus

Dernière modification par yoshi (11-03-2024 11:08:49)

Borassus

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Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

le graphe de tout polynôme de degré 4, $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$, dont les coefficients vérifient l'égalité $b^3 - 4abc + 8a^2d = 0$, possède un axe de symétrie vertical d'abscisse $- \dfrac b {4a}$ , et le polynôme peut être retranscrit sous sa forme canonique $a(x - \alpha)^4 + \beta(x - \alpha)^2 + \gamma$ , avec $\alpha = - \dfrac b {4a}$ , les expressions de $\beta$ et de $\gamma$ ne présentant pas d'intérêt car déjà trop complexes ;

Bonsoir à tous,

Si les cinq coefficients sont des entiers choisis au hasard entre deux entiers $N_1$ et $N_2$, peut-on modéliser la probabilité que le polynôme puisse être retranscrit sous "sa forme canonique" $a(x - \alpha)^4 + \beta(x - \alpha)^2 + \gamma$ ?

Merci de vos réponses.
Bonne soirée.

Roro

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Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

Bonjour,

Je dirai que la probabilité est nulle.

En effet, si tu définis l'ensemble
$\mathcal E = \{(a,b,c,d,e)\in [N_1,N_2]^5 ~,~ \exists (\alpha,\beta,\gamma)\in \mathbb R^3\quad a(X-\alpha)^4+\beta(X-\alpha)^2+\gamma = aX^4+bX^3+cX^2+dX+e\}$
alors on peut se rendre compte, en identifiant les coefficients, que
$\mathcal E = \{(a,b,c,d,e)\in [N_1,N_2]^5 ~,~ d=f(a,b,c,e)\}$,
où $f$ est une fonction explicite (pas forcément très jolie).

Roro.

Dernière modification par Roro (18-10-2024 07:52:31)

Borassus

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Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

Bonjour Roro, bonjour à tous,

Merci de ta réponse.

Tout d'abord, je dois rectifier ma question : comme la condition porte uniquement sur les coefficients $a$, $b$, $c$, $d$, il faut choisir aléatoirement quatre entiers, et non cinq. (Le coefficient $e$ n'a aucune influence sur la symétrie dans la mesure où il déplace simplement la courbe verticalement.)

J'ai en outre posé la question à ChatGPT qui a utilisé la méthode de Monte-Carlo dont voici le script en Python :

import random

def generate_random_int(min_val, max_val):
    """Génère un entier aléatoire entre min_val et max_val."""
    return random.randint(min_val, max_val)

def test_canonical_form(N1, N2, trials):
    """Simule la méthode de Monte-Carlo pour estimer la probabilité que le polynôme puisse être écrit sous forme canonique."""
    count = 0
   
    for _ in range(trials):
        a = generate_random_int(N1, N2)
        b = generate_random_int(N1, N2)
        c = generate_random_int(N1, N2)
        d = generate_random_int(N1, N2)
       
        # Vérifie la condition b^3 - 4abc + 8a^2d = 0
        if b**3 - 4*a*b*c + 8*a**2*d == 0:
            count += 1
   
    # Probabilité estimée
    probability = count / trials
    return probability

# Paramètres : N1 = borne inférieure, N2 = borne supérieure, trials = nombre d'essais
probability_10_10 = test_canonical_form(-10, 10, 100000)
probability_5_5 = test_canonical_form(-5, 5, 100000)
probability_0_5 = test_canonical_form(0, 5, 100000)
probability_0_10 = test_canonical_form(0, 10, 100000)

# Afficher les probabilités pour différents intervalles
print(f"Probabilité pour l'intervalle [-10, 10] : {probability_10_10}")
print(f"Probabilité pour l'intervalle [-5, 5] : {probability_5_5}")
print(f"Probabilité pour l'intervalle [0, 5] : {probability_0_5}")
print(f"Probabilité pour l'intervalle [0, 10] : {probability_0_10}")

Je lui ai demandé de calculer les probabilités pour les intervalles $[-10;10]$ , $[-5;5]$ , $[0;5]$ , $[0;10]$
Voici les résultats qu'il a calculés:
Pour l'intervalle $[−10;10]$ : 0,741 %, soit 741 polynômes symétriques sur 100 000
Pour l'intervalle $[-5;5)$ : 2,414 %, soit 2 414 polynômes symétriques sur 100 000
Pour l'intervalle $[0;5]$ : 6,15 %, soit 6 150 polynômes symétriques sur 100 000
Pour l'intervalle $[0;10]$ : 1,978 %, soit 1 978 polynômes symétriques sur 100 000

La probabilité ne semble donc pas nulle.

Au delà de la méthode de Monte-Carlo (que je qualifierais de "méthode bourrin") , je crois me souvenir qu'il existe des théories de calcul de probabilités lorsque des valeurs sont liés par une relation.
Mais là on sort du cadre du forum collège/lycée.

Bonne journée à tous

Dernière modification par Borassus (18-10-2024 10:09:08)

Roro

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Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

Oups, je n'avais pas vu que tu cherchais des entiers entre $N_1$ et $N_2$...

Roro.

Dernière modification par Roro (18-10-2024 11:44:55)

Borassus

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Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

Bonsoir Roro, bonsoir à tous,

Effectivement, si on prend des réels quelconques, la probabilité que la relation soit vérifiée est de toute évidence nulle.  :-)

Maintenant, j'aimerais comprendre la logique induite par le choix des bornes $N_1$ et $N_2$.
Par exemple, pourquoi, à amplitude égale, l'intervalle $[-5;5]$ fournit plus de polynômes symétriques que l'intervalle $[0;10]$ ?
(Intuitivement, le signe des coefficients doit jouer. Intuitivement aussi, plus l'amplitude de l'intervalle est grande, plus la probabilité d'obtenir un polynôme symétrique est faible.)

Bonne soirée.

Borassus

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Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

En jouant avec les curseurs, j'ai pu trouver le polynôme $2x^4 - 4x^3 + x^2 + x -2$ qui est sympa car il présente trois extrema :

yoshi

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Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

Re,

Je t'en donne une autre, une équation bicarrée : $y=x^4-4x^2+4$

@+

Borassus

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Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

Ave Yoshissimus,

La courbe est certes jolie, mais, dans mon exemple, les cinq coefficients sont présents.  :-)

D'ailleurs, une équation bicarrée étant par nature paire, elle est forcément symétrique.
(Si la condition $b^3 - 4abc + 8a^2d = 0$ est vérifiée, la forme canonique $a(x - \alpha)^4 + \beta(x - \alpha)^2 + \gamma$ est l'équation bicarrée $ax^4 + \beta x^2 + \gamma$ dont la courbe est décalée horizontalement de $\alpha$, vers la droite si $\alpha$ est positif, vers la gauche s'il est négatif.)

Comme dans le cas d'une équation bicarrée les coefficients $b$ et $d$ sont tous deux nuls, la condition est bien vérifiée ; $0^3 - 4 \times a \times 0 \times c + 8a^2 \times 0 = 0$

Par contre, la condition n'a pas de sens si $b = 0$ et si $d \ne 0$ car dans ce cas $8a^2d$ ne peut être nul.

Remarque : Si $b \ne 0$ et si $d = 0$, la condition se réduit à $b^3 - 4abc = 0$, soit $b(b^2 - 4ac) = 0$
Tiens ? on retrouve $b^2 - 4ac$, mais les coefficients ne sont pas les mêmes.  :-)

Borassus

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Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

Exemples de polynômes de degré 4 non symétriques, en conservant le même $\alpha = \dfrac 1 2$, et la même ordonnée à l'origine $e = -2$ :

$2x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 3x -2$

et

$2x^4 - 4x^3 + x^2 + 3x - 2$

Ernst

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Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

Au delà de la méthode de Monte-Carlo (que je qualifierais de "méthode bourrin") , je crois me souvenir qu'il existe des théories de calcul de probabilités lorsque des valeurs sont liés par une relation.
Mais là on sort du cadre du forum collège/lycée.

Bonsoir,

Avec des nombres entiers, autant explorer toutes les possibilités une à une. Pas sûr que les statistiques servent à grand-chose dans la mesure où il suffit d’agrandir la fourchette de recherche pour que le ratio des solutions trouvées sur le nombre de valeurs testées s'effondre.

Ici un petit programme C qui permet d’explorer plus largement et qui n’affiche que le nombre de solutions trouvées en fonction de la valeur de a :

#include <stdio.h>
#include <time.h>

// Fonction pour calculer l'équation
long long equation(int a, int b, int c, int d) {
    return (long long)b * b * b - 4 * (long long)a * b * c + 8 * (long long)a * a * d;
}

int main() {
    // Définition de la plage pour a, b, c et d
    const int MIN_VALUE = -20;
    const int MAX_VALUE = 20;

    // Initialisation des variables
    int total_iterations = 0;

    // Chronométrage
    time_t start_time = time(NULL);

    // Itération sur la plage
    for (int a = MIN_VALUE; a <= MAX_VALUE; a++) {
        int solutions_for_a = 0; // Compteur de solutions pour la valeur actuelle de a
        for (int b = MIN_VALUE; b <= MAX_VALUE; b++) {
            for (int c = MIN_VALUE; c <= MAX_VALUE; c++) {
                for (int d = MIN_VALUE; d <= MAX_VALUE; d++) {
                    total_iterations++;
                    if (equation(a, b, c, d) == 0) {
                        solutions_for_a++;
                    }
                }
            }
        }
        printf("a = %d : %d solutions\n", a, solutions_for_a);
    }

    // Calcul du temps écoulé
    time_t end_time = time(NULL);
    double elapsed_time = difftime(end_time, start_time);

    // Affichage des résultats
    printf("Nombre total d'itérations : %d\n", total_iterations);
    printf("Temps écoulé : %.2f secondes\n", elapsed_time);

    return 0;
}

On peut essayer sur des compilateurs en ligne comme > celui-ci < ou > celui-là < qui permettent un affichage complet.

a = -20 : 81 solutions
a = -19 : 41 solutions
a = -18 : 69 solutions
a = -17 : 41 solutions
a = -16 : 103 solutions
a = -15 : 41 solutions
a = -14 : 41 solutions
a = -13 : 41 solutions
a = -12 : 81 solutions
a = -11 : 41 solutions
a = -10 : 103 solutions
a = -9 : 161 solutions
a = -8 : 149 solutions
a = -7 : 109 solutions
a = -6 : 111 solutions
a = -5 : 135 solutions
a = -4 : 213 solutions
a = -3 : 155 solutions
a = -2 : 179 solutions
a = -1 : 209 solutions
a = 0 : 1681 solutions
a = 1 : 209 solutions
a = 2 : 179 solutions
a = 3 : 155 solutions
a = 4 : 213 solutions
a = 5 : 135 solutions
a = 6 : 111 solutions
a = 7 : 109 solutions
a = 8 : 149 solutions
a = 9 : 161 solutions
a = 10 : 103 solutions
a = 11 : 41 solutions
a = 12 : 81 solutions
a = 13 : 41 solutions
a = 14 : 41 solutions
a = 15 : 41 solutions
a = 16 : 103 solutions
a = 17 : 41 solutions
a = 18 : 69 solutions
a = 19 : 41 solutions
a = 20 : 81 solutions
Nombre total d'itérations : 2825761

Avec du C on peut accéder à des plages de plusieurs centaines d’éléments dans un temps raisonnable, le Python est à genoux bien avant…
(maintenant soyons clair, je n’ai aucune idée de ce à quoi cela peut servir)

Borassus

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Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

Hello Ernst, hello tout le monde,

Merci de t'être intéressé à la question, et d'avoir pris le temps d'élaborer ce programme ! (C'est intéressant, et en même temps intuitif, de voir que les nombres de solutions pour une valeur absolue donnée de $a$ sont égaux.)

Ce programme m'a au demeurant fait me rendre compte que j'avais oublié de préciser à Chat que $a$ ne doit pas être nul, sinon le polynôme est un polynôme du troisième degré, toujours symétrique.
(J'ai fait rectifier le script en Python ; avec cette restriction, la probabilité que le polynôme soit symétrique lorsque les coefficients sont des entiers compris entre - 5 et +5 est égale à 1,557 %, au lieu de 2,414 %. La modification des bornes de ton programme permettrait de connaître le nombre exact de solutions pour cet intervalle, en décomptant les solutions biaisées par $a = 0$. Je n'ai pas le temps de le faire tout de suite ;  je le ferai ce soir à mon retour de cours.)

Bonne journée à tous.

PS : J'ai réactivé cette discussion car je suis précisément en train d'expliquer que la fameuse forme canonique du polynôme du second degré $a(x - \alpha)^2 + \beta$, qu'on voit en Seconde et en Première, est un cas particulier d'une logique générale.
Ton apport, et celui de Chat, me sont précieux car je peux expliquer que les polynômes du 4ème degré symétriques sont très minoritaires, à plus forte raison ceux du 5ème degré, et au-delà. Merci encore.

Dernière modification par Borassus (19-10-2024 11:50:18)

Ernst

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Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

Merci de t'être intéressé à la question, et d'avoir pris le temps d'élaborer ce programme ! (C'est intéressant, et en même temps intuitif, de voir que les nombres de solutions pour une valeur absolue donnée de $a$ sont égaux.)

Bonjour Borassus, bonjour lecteurs intéressés, bonjour tout le monde,

Je me suis amusé à détailler :

Plages de recherche :
a [-5, 5]
b [-5, 5]
c [-5, 5]
d [-5, 5]
==============
Solutions pour chaque valeur de a :
a = -5 : 11 solutions
a = -4 : 23 solutions
a = -3 : 11 solutions
a = -2 : 29 solutions
a = -1 : 39 solutions
a = 0 : 121 solutions
a = 1 : 39 solutions
a = 2 : 29 solutions
a = 3 : 11 solutions
a = 4 : 23 solutions
a = 5 : 11 solutions
==============
Solutions pour chaque valeur de b :
b = -5 : 0 solutions
b = -4 : 38 solutions
b = -3 : 0 solutions
b = -2 : 20 solutions
b = -1 : 0 solutions
b = 0 : 231 solutions
b = 1 : 0 solutions
b = 2 : 20 solutions
b = 3 : 0 solutions
b = 4 : 38 solutions
b = 5 : 0 solutions
==============
Solutions pour chaque valeur de c :
c = -5 : 31 solutions
c = -4 : 29 solutions
c = -3 : 35 solutions
c = -2 : 31 solutions
c = -1 : 33 solutions
c = 0 : 29 solutions
c = 1 : 33 solutions
c = 2 : 31 solutions
c = 3 : 35 solutions
c = 4 : 29 solutions
c = 5 : 31 solutions
==============
Solutions pour chaque valeur de d :
d = -5 : 15 solutions
d = -4 : 19 solutions
d = -3 : 21 solutions
d = -2 : 27 solutions
d = -1 : 23 solutions
d = 0 : 137 solutions
d = 1 : 23 solutions
d = 2 : 27 solutions
d = 3 : 21 solutions
d = 4 : 19 solutions
d = 5 : 15 solutions
#
Nombre total d'iterations : 14641
Temps ecoule : 0.09 secondes

On s’aperçoit que b par exemple doit impérativement être pair pour que l’équation ait une solution – qu’on ne me demande pas pourquoi. En initialisation on peut maintenant étendre la plage de certains paramètres et restreindre celle d’autres, et on aura à chaque fois des statistiques différentes. Par contre je n’ai évité aucune valeur particulière. Le zéro faisant partie des valeurs permettant d’annuler l’équation, je me voyais mal en conserver certains et pas d’autres.

Le programme en Python ici :

import time

# Fonction pour calculer l'équation
def equation(a, b, c, d):
    return b**3 - 4*a*b*c + 8*a**2*d

# Définition des plages pour a, b, c et d
min_a, max_a = -5, 5
min_b, max_b = -5, 5
min_c, max_c = -5, 5
min_d, max_d = -5, 5

# Affichage des plages de recherche
print("Plages de recherche :")
print(f"a [{min_a}, {max_a}]")
print(f"b [{min_b}, {max_b}]")
print(f"c [{min_c}, {max_c}]")
print(f"d [{min_d}, {max_d}]")
print("==============")

# Initialisation des variables
total_iterations = 0

# Chronométrage
start_time = time.time()

# Affichage des solutions pour chaque valeur de a
print("Solutions pour chaque valeur de a :")
for a in range(min_a, max_a + 1):
    solutions_for_a = 0
    for b in range(min_b, max_b + 1):
        for c in range(min_c, max_c + 1):
            for d in range(min_d, max_d + 1):
                total_iterations += 1
                if equation(a, b, c, d) == 0:
                    solutions_for_a += 1
    print(f"a = {a} : {solutions_for_a} solutions")
print("==============")

# Affichage des solutions pour chaque valeur de b
print("Solutions pour chaque valeur de b :")
for b in range(min_b, max_b + 1):
    solutions_for_b = 0
    for a in range(min_a, max_a + 1):
        for c in range(min_c, max_c + 1):
            for d in range(min_d, max_d + 1):
                if equation(a, b, c, d) == 0:
                    solutions_for_b += 1
    print(f"b = {b} : {solutions_for_b} solutions")
print("==============")

# Affichage des solutions pour chaque valeur de c
print("Solutions pour chaque valeur de c :")
for c in range(min_c, max_c + 1):
    solutions_for_c = 0
    for a in range(min_a, max_a + 1):
        for b in range(min_b, max_b + 1):
            for d in range(min_d, max_d + 1):
                if equation(a, b, c, d) == 0:
                    solutions_for_c += 1
    print(f"c = {c} : {solutions_for_c} solutions")
print("==============")

# Affichage des solutions pour chaque valeur de d
print("Solutions pour chaque valeur de d :")
for d in range(min_d, max_d + 1):
    solutions_for_d = 0
    for a in range(min_a, max_a + 1):
        for b in range(min_b, max_b + 1):
            for c in range(min_c, max_c + 1):
                if equation(a, b, c, d) == 0:
                    solutions_for_d += 1
    print(f"d = {d} : {solutions_for_d} solutions")

# Calcul du temps écoulé
end_time = time.time()
elapsed_time = end_time - start_time

# Affichage des résultats
print(f"\nNombre total d'iterations : {total_iterations}")
print(f"Temps ecoule : {elapsed_time:.2f} secondes")

Un petit mot sur les assistants numériques, qui permettent aujourd’hui de pondre du code plus ou moins opérationnel dans le langage que l'on souhaite. Pour que cela fonctionne correctement, il faut que l’utilisateur ait une assez bonne idée de ce qu’il veut obtenir, et surtout de la manière dont il veut procéder. C'est en cela je crois que c'est formateur, cela impose en quelque sorte à revenir aux bases et à l’essentiel, et ne plus perdre son temps à mettre en oeuvre une syntaxe particulière.

Borassus

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Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

Bonsoir (ou bonjour) Ernst, bonsoir (ou bonjour) à tous,

Merci pour cette intéressante autre façon de calculer les combinaisons répondant à la condition !

On peut remarquer qu'en fixant $a$ à une valeur autre que $0$ (pour conserver un polynôme du 4ième degré) dans l'intervalle $[[-5 ; 5]]$, on obtient $(11 + 23 + 11 + 29 + 39) \times 2 = 226$ polynômes symétriques.

Comme le nombre de combinaisons analysées est égal à $10 \times 11^3$ ($10$ valeurs possibles pour $a$, $11$ valeurs possibles pour $b$, $c$ et $d$, soit $13\:310$), la probabilité d'obtenir un polynôme symétrique est égale à $\dfrac {226}{13\:310} \approx 1,7 \: \%$, valeur proche de celle calculée par Chat par simulation d'un grand nombre de combinaisons aléatoires ($1, 557 \:\%$).

Pour ce qui est de l'aide que m'apporte ChatGPT, principalement en JavaScript, mais aussi en Python, j'ai pu voir à maintes reprises se mettre en place une interaction qui est pour moi très formatrice, aussi bien en termes des fonctions utilisées que dans la façon de penser le code, hors, effectivement, contingences liées à la syntaxe.
Par contre, il a fallu plusieurs fois deux ou trois jours pour venir à bout d'une difficulté, la résolution se faisant par itérations et communications successives.

Bonne fin de soirée, et bonne et fructueuse, ou bonne et agréable, semaine.

Ernst

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Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

Pour ce qui est de l'aide que m'apporte ChatGPT, principalement en JavaScript, mais aussi en Python, j'ai pu voir à maintes reprises se mettre en place une interaction qui est pour moi très formatrice, aussi bien en termes des fonctions utilisées que dans la façon de penser le code, hors, effectivement, contingences liées à la syntaxe.

Bonsoir Borassus, bonsoir tout le monde

Alors là, je ne connaissais pas, mais ton Javascript, absolument fabuleux ! Allez hop, la > page de recherche < de ton équation. Chez moi cela met une dizaine de secondes pour afficher une plage de -150 à 150, avec des particularités tout à fait étonnantes :

Pour a = -149, nombre de solutions : 301
Pour a = -148, nombre de solutions : 601
Pour a = -147, nombre de solutions : 559
Pour a = -146, nombre de solutions : 301
Pour a = -145, nombre de solutions : 301
Pour a = -144, nombre de solutions : 1153
Pour a = -143, nombre de solutions : 301
Pour a = -142, nombre de solutions : 301
Pour a = -141, nombre de solutions : 301
Pour a = -140, nombre de solutions : 601
Pour a = -139, nombre de solutions : 301

Autre exemple, si on se restreint uniquement à la plage entre 40 et 120 on s’aperçoit qu’il y a des structures inattendues, par exemple des dizaines de solutions pour chaque valeur de $a$ jusqu’à un certain point et pof, tout à coup cela s’effondre et on se retrouve avec des séries de zéros sorties de je ne sais où. On peut bien sûr prendre d’autres plages comme [60 … 160], cela marche de la même façon mais pour d’autres valeurs.

Y a encore bien des trucs à explorer, finalement.

Borassus

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Re : ax^2 + bx + c n'est pas le seul polynôme à avoir une forme canonique !

Bonsoir Ernst, bonsoir tout le monde,

Whaou ! Tu nous as créé un joujou pas mal addictif, car on envie de tester toutes les combinaisons qui passent par la tête !

Maintenant, pour expliquer les bizarreries étonnantes qu'on peut remarquer, c'est sans doute une tout autre paires de manches !!
(Intuitivement, des coefficients devant être tous positifs génèrent moins de possibilités de compensation de signes. D'où peut-être les séries de 0.)
On est là (très) loin des équations diophantiennes !!

Par contre, il est vraiment étonnant que des valeurs particulières de $a$ génèrent un nombre de solutions qui se démarque nettement de celles générées pour des valeurs de $a$ voisines.

C'est saisissant aussi le nombre de solutions testées pour l'intervalle $[-150,150]$ : $8\:208\:541\:201$ soit huit milliards 208 millions 541 mille 201 solutions testées !

Petite suggestion toutefois : si l'intervalle comprend aussi bien des valeurs négatives que positives, il est sans doute préférable de ne pas tenir compte de $a = 0$ car on n'a alors plus un polynôme de quatrième degré.

Bonne fin de soirée à ceux qui s'aventurent dans cette discussion à une heure tardive.

PS : Pour quelqu'un qui ne connaissait pas JavaScript, tu as tout de go réalisé un programme impressionnant !!
Tu pourras nous faire bénéficier de ton code ?

(Personnellement, j'utilise principalement JavaScript pour les possibilités qu'il offre de parcourir le DOM — Document Object Model ; voir par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/Document_Object_Model  — d'une structure html.)

Dernière modification par Borassus (21-10-2024 21:39:09)