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#1 29-12-2023 15:53:36
- Bivalve
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- Messages : 66
Espace stable
Bonjour, je coince sur l'exercice suivant :
" Soit [tex]E[/tex] un R-espace vectoriel de dimension finie et [tex]u[/tex] un endomorphisme de [tex]E[/tex] tel que [tex] u^3 = Id_E[/tex].
Décrire les sous-espaces stables de u. "
D'après le lemme des noyaux, on montre facilement que [tex]E = Ker( u - Id_E ) \oplus Ker( u^2 + u + Id_E ) [/tex]
J'ai réussi tout d'abord à montrer que [tex]F [/tex] sous-espace stable par [tex] u [/tex] implique que [tex]F = F_1 \oplus F_2 [/tex] avec [tex]F_1 = F \cap Ker( u - Id_E )[/tex] et [tex]F_2 = F \cap Ker( u^2 + u + Id_E ) [/tex].
Cependant, j'ai du mal avec l'implication réciproque. On montre aisément que [tex]F_1[/tex] est stable par [tex]u[/tex] et j'essaie de faire de même avec [tex] F_2 [/tex] mais je n'y arrive pas...
Je ne sais même pas si la réciproque est vraie, il faut peut-être arrêter le raisonnement ici.
Je vous remercie d'avance de vos réponses !
Dernière modification par Bivalve (29-12-2023 15:56:49)
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#3 29-12-2023 19:55:42
- Eust_4che
- Membre
- Inscription : 09-12-2021
- Messages : 184
Re : Espace stable
Bonjour à tous les deux,
Bivalve, tu as fais une grosse partie du chemin. Comment as-tu pu démontrer que $F_1$ est stable ? Hum... N'aurais-tu pas utilisée le polynôme caractéristique (ou le polynôme minimal) de l'endomorphisme $u \mid \ker (u - Id_E)$ pour y parvenir ? En tous cas, cela te donnes une indication pour déterminer à quoi ressemble $F_2$.
E.
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#4 30-12-2023 15:36:26
- Bivalve
- Membre
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- Messages : 66
Re : Espace stable
Je pense avoir réussi à démontrer que [tex] F [/tex] stable par [tex] u [/tex] implique [tex] F = F_1 \oplus F_2 [/tex] avec [tex]dim( F_2 )[/tex] paire.
En effet, j'ai déjà réussi à démontrer que [tex] F [/tex] stable par [tex] u \Rightarrow F = F_1 \oplus F_2 [/tex].
On sait que [tex] F _2 = F \cap Ker( u^2 + u + Id_E ) [/tex] est stable par [tex] u [/tex] car cet espace est l'intersection de deux sous-espaces stables par [tex] u [/tex].
On pose l'endomorphisme induit par [tex] u [/tex] sur [tex] F_2 [/tex] : [tex] u_R : F_2 \rightarrow F_2, x \mapsto u(x) [/tex].
On sait que [tex] F_2 [/tex] est un sous-espace de [tex] Ker( u^2 + u + Id_E ) [/tex], alors [tex] P(X) = X^2 + X + 1 [/tex] est un polynome annulateur de [tex] u_R [/tex]. Puisque [tex] P(X) [/tex] n'admet pas de racine réelle, on déduit que [tex] Sp(u_R) = \emptyset [/tex].
Alors forcément le polynôme caractéristique de [tex] u_R [/tex] est de degré pair ( car n'admet pas de racine réelle ), donc [tex] F_2 [/tex] de dimension paire.
Pour répondre à Eust_4che, j'ai montré que [tex] F_1 = F \cap Ker( u - Id_E ) [/tex] est stable par [tex] u [/tex] en prenant [tex] x \in F_1 [/tex] quelconque. On sait que [tex] u(x) = x [/tex] car [tex] x \in F_1 \subset Ker( u - Id_E ) [/tex], on déduit alors que [tex] u(x) = x \in F_1 [/tex] . On conclut alors que [tex] F_1 [/tex] est stable par u.
N'hésitez pas à me corriger si jamais, il me reste encore à montrer l'implication réciproque : [tex] F = F_1 \oplus F_2 [/tex] avec [tex] dim F_2 [/tex] paire [tex] \Rightarrow F [/tex] stable par [tex] u [/tex]. Je reviendrais vers vous si je coince à nouveau ou bien pour montrer ma résolution. Je vous remercie de vos réponses.
Dernière modification par Bivalve (30-12-2023 15:37:03)
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#5 30-12-2023 16:45:08
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 464
Re : Espace stable
il me reste encore à montrer l'implication réciproque : [tex] F = F_1 \oplus F_2 [/tex] avec [tex] dim F_2 [/tex] paire [tex] \Rightarrow F [/tex] stable par [tex] u [/tex].
Tu vas immanquablement coincer, parce que c'est faux. Tu peux regarder ce qui se passe pour $u$ de matrice $\begin{pmatrix}0&-1&0&0\\ 1&-1&0&0\\ 0&0&0&-1\\ 0&0&1&-1\end{pmatrix}$.
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#6 31-12-2023 10:27:46
- Bivalve
- Membre
- Inscription : 12-01-2023
- Messages : 66
Re : Espace stable
Merci Mr Coste pour votre contre-exemple. Si on considère que [tex] u [/tex] admet une telle matrice dans la base canonique de [tex]\mathbb{R}^4 [/tex], on remarque que [tex] Ker( u^2 + u + Id_E ) = \mathbb{R}^4[/tex]. Il suffit de prendre l'espace [tex] Vect( e_2 , e_4 ) [/tex].
On établit facilement l'égalité [tex] Vect( e_2 , e_4 ) = Vect( e_2 , e_4 ) \cap Ker( u - Id_E ) \oplus Vect( e_2 , e_4 ) \cap Ker( u^2 + u + Id_E )[/tex] avec [tex]dim Vect( e_2 , e_4 ) \cap Ker( u^2 + u + Id_E ) = dim Vect( e_2 , e_4 ) = 2[/tex], donc paire.
Sauf que [tex]Vect( e_2 , e_4 )[/tex] n'est pas stable par [tex] u [/tex], l'implication est alors fausse.
Pour être honnête, je ne sais plus trop quoi faire...
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#8 02-01-2024 22:20:33
- Bivalve
- Membre
- Inscription : 12-01-2023
- Messages : 66
Re : Espace stable
Ok, donc tout d'abord on a [tex] F [/tex] stable [tex] \Rightarrow F = F_1 \oplus F_2 [/tex] avec [tex] F_1 = F \cap Ker( u - Id_E ) [/tex] et [tex] F_2 = F \cap Ker( u^2 + u + Id_E ) [/tex].
Supposons que [tex] dim Ker( u^2 + u + Id_E ) = 2 [/tex]
Nous savons que pour tout [tex]x[/tex] non nul de [tex] F_2 [/tex], [tex] Vect( x ; u(x) ) [/tex] est une famille libre de [tex]F_2[/tex].
En effet, on a [tex]u(x)[/tex] qui appartient à [tex] F_2 [/tex] car c'est un espace stable, [tex] x [/tex] et [tex] u(x) [/tex] sont indépendant car [tex]F_2[/tex] n'admet pas de valeur propre réelle ( car [tex] P(X) = X^2 + X + 1[/tex] est un polynôme annulateur de cette espace ) [/tex]
On déduit alors que [tex]Ker( u^2 + u + Id_E ) = Vect( x ; u(x) ) [/tex]
Maintenant, suppsons que [tex] dim Ker( u^2 + u + Id_E ) = 4 [/tex].
Alors il existe forcément un vecteur [tex] y [/tex] de [tex] F_2 [/tex] où la famille [tex]( x ; u(x) ; y )[/tex] est libre.
Par calcul, on montre que [tex]Vect( x ; u(x) ; y ; u(y) )[/tex] est libre
Nous savons alors que [tex] F_2 = Vect( x ; u(x) ; y ; u(y) ) = Vect( x ; u(x) ) \oplus Vect( y ; u(y) )[/tex]
J'en déduis donc que [tex] F_2 [/tex] est une somme directe d'espace stable de la frome [tex]Vect( x ; u(x) )[/tex], c'est ça ?
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