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Eyer

Invité

Composé de deux fonctions continues

Bonjour ،comment montrer que la composée de deux fonctions est une fonction continue à l'aide de la définition de la limite, je bloque dans beaucoup de pistes lorsque j'écris les définitions de ces limites.

Exo : montrer à l'aide de la définition de la limite que si f est continue en a et g continue en f(a) , alors gof est continue en a.

Merci pour vos aides.

Vincent62

Membre

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Messages : 314

Re : Composé de deux fonctions continues

Salut,

Tu peux, par exemple, utiliser le fait que [tex]f(a+h)=f(a)+h\epsilon(h)[/tex] et [tex]g(f(a)+k)=g(f(a))+k\epsilon(k)[/tex] où [tex]\epsilon(h)\to h[/tex] lorsque [tex]h\to 0[/tex] et [tex]\epsilon(k)\to 0[/tex] lorsque [tex]k\to 0[/tex].
Puis il faut dérouler l'expression [tex]g\circ f(a+h)=...[/tex]

Ou alors, est-ce que tu recherches une preuve à l'aide de voisinages dans les espaces métriques ?

Eyer

Invité

Re : Composé de deux fonctions continues

Bonjour,non c'est à l'aide de la définition de la limite :
Par définition, L est la limite de la fonction f en c, si quel que soit ε > 0, il existe δ > 0 tel que si |x - c| < δ, alors |f(x) - L| < ε.

Eust_4che

Membre

Inscription : 09-12-2021

Messages : 184

Re : Composé de deux fonctions continues

Bonjour tout le monde !

Eyer, garde bien en tête la définition d'une fonction composée. Considère un réel $r > 0$. D'après la définition de la continuité de $g$ au point $f(a)$, tu dois pouvoir exprimer (à l'aide des quantificateurs) "la proximité de $g(y)$ à $g(f(a))$" dès que $y$ est suffisamment "proche" de $f(a)$. Il de suffit alors de recommencer ce raisonnement pour faire dépendre la proximité de $y = f(x)$ à $f(a)$ de la proximité de $x$ à $a$.

Pour que ce soit (peut-être) plus clair, tu peux aussi utiliser la définition suivante (après avoir démontrer que les deux définitions coïncident!) :

On dit qu'une fonction $f$ est continue au point $a$ si, quels que soient les réels $\alpha, \beta$ tels que $f(a) \in ]\alpha, \beta [$, il existe deux réels $\gamma, \delta$ tels que $a \in ]\gamma, \delta[$ et que $x \in ]\gamma, \delta[ \Rightarrow f(x) \in ]\alpha, \beta [$

$x$ étant évidemment à prendre dans le domaine de définition de $f$.

Vincent62, ce que tu as écrit signifie que $f$ est dérivable au point $a$ et que son nombre dérivé en ce point est $0$, ce qui n'a pas grand'chose à voir ici.
E.

Dernière modification par Eust_4che (30-07-2023 18:36:54)