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Bonjour Fred,

Les indications que vous m'avez donné précédemment ont beaucoup servies pour résoudre l'exercice.

L'exercice était la suivante:

Soit   [tex]F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex]    et    [tex]G: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] les fonctions définies par

[tex]F(x) = \int^{1}_{0} \frac {e^{-x^2(1+t^2)}}{(1+t^2)} dt [/tex]     et     [tex]G(x) = - \left(\int^{x}_{0} e^{-t^2} dt \right)^2 [/tex]

1. Montrer que F est définie, continue et dérivable sur [tex]\mathbb{R}[/tex].
2. Déterminer la limite de [tex]F[/tex] quand [tex]x[/tex] tend vers [tex]+\infty[/tex].
3. Calculer [tex]F(0)[/tex].
4. Vérifier que [tex]F' = G'[/tex].
5. En déduire la valeur de [tex]\int^{\infty}_{0} e^{-t^2} dt[/tex].

C'est pour le 5) que j'ai obtenu une équation différentielle.

J'ai posé [tex]A = \int^{x}_{0} e^{-t^2} dt[/tex]

donc,
[tex]G(x) = -A^2[/tex]
[tex]G'(x) = -2e^{-x^2}A[/tex]

[tex]-G(x) = \frac {(G'(x))^2}{4e^{-2x^2}}[/tex]

Une fois que je trouve [tex]G(x)[/tex] je fais [tex]x[/tex] tendre vers +[tex]\infty[/tex].

Merci de vos indications pour résoudre cette equation différentielle.

Bonjour,

Donc la dérivée de  [tex]G(x) = - \left(\int^{x}_{0} e^{-t^2} dt \right)^2 [/tex]vaut:

[tex]G'(x)= -2  \left(\int_0^xe^{-t^2}dt\right)   \left(\int_0^xe^{-t^2}dt\right)' [/tex]

Je n'arrive pas à calculer  [tex]\left(\int_0^xe^{-t^2}dt\right)'[/tex]

D'une part, avec le théorème de dérivabilité,

[tex]\frac d{dx} \left(\int_0^x e^{-t^2}dt\right) = \left(\int_0^x \frac {\partial e^{-t^2}}{\partial x} dt\right)[/tex]

Or, [tex]\frac {\partial e^{-t^2}}{\partial x} = 0[/tex]

D'autre part, avec le taux d'accroissement, soit [tex] h \in \mathbb{R^*}[/tex]

je trouve:
[tex]\left(\int_0^xe^{-t^2}dt\right)' = \lim_{h\to 0 \atop h\neq 0}\frac1h  \left(\int_x^{x+h} e^{-t^2}dt\right) [/tex]Je ne sais pas simplifier.

Merci d'avance!

Bonjour,

Soient [tex](Un)[/tex] une suite de Cauchy et [tex](Vn)[/tex] une suite extraite de [tex](Un)[/tex].
Est-ce que [tex](Vn)[/tex] est nécessairement de Cauchy?

Merci de votre réponse.

On appelle tribu borélienne de R, la plus petite tribu sur R contenant tous les ensembles ouverts.
Or on a vu que le complémentaire d'un ouvert n'est pas un ouvert, donc je ne vois pas comment la tribu borélienne est stable par passage au complémentaire.

Bonjour,

Je vous remercie pour la réponse précédente.
J'ai une question indépendante de celle d'avant.

Soit X une variable aléatoire de loi N(0,1). Déterminer la loi de Z=X²+2X.

Ma réponse:

Soit φ bornée, continue.
D'une part, E[φ(Z)] = [tex]\int^{}_{R}[/tex] φ(z) f(z) dz                où f(z) est une densité de z.
D'autre part, E[φ(Z)] = [tex]\int^{}_{R}[/tex] φ(x²+2x) f(x) dx      où f(x) est une densité de x.

changement de variable: z=x²+2x donne x= -1[tex]\pm [/tex][tex]\sqrt{1+z}[/tex]
donc dx=[tex]\pm [/tex] [tex]\frac{1}{2\sqrt{1+z}}[/tex] dz

Par le critère de la fonction muette,

f(z) = [tex]\frac{1}{2\pi}[/tex]exp([tex]\frac{(-1\pm\sqrt{1+z})²}{-2}[/tex]) [tex]\frac{(\pm1)}{2\sqrt{1+z}}[/tex]

Merci de votre aide.

Bonjour,

Dans ce cas,   f(A)=[tex]\left\{1\right.[/tex][tex]\left\}\right.[/tex]   et   f(B)=[tex]\left\{1\right.[/tex][tex]\left\}\right.[/tex]

Donc   f(A) [tex]\cap [/tex] f(B) = [tex]\left\{1\right.[/tex][tex]\left\}\right.[/tex]

soit x [tex]\in [/tex] f(A) [tex]\cap [/tex] f(B)  alors   x = 1

D'autre part,    A[tex]\cap [/tex]B = [tex]\varnothing[/tex]

Mais là,   f([tex]\varnothing[/tex])   vaut   1   ou   [tex]\varnothing[/tex]  ?

Merci

Bonjour,

1)  soit x [tex]\in [/tex] f(A[tex]\cap [/tex]B)

x [tex]\in [/tex] f(A[tex]\cap [/tex]B)   [tex]\Longleftrightarrow [/tex]   f ^-1(x) [tex]\in [/tex] A[tex]\cap [/tex]B
                       [tex]\Longleftrightarrow [/tex]   f ^-1(x) [tex]\in [/tex] A et  f ^-1(x) [tex]\in [/tex] B
                       [tex]\Longleftrightarrow [/tex]  x [tex]\in [/tex] f(A) et  x [tex]\in [/tex] f(B)
                       [tex]\Longleftrightarrow [/tex]  x [tex]\in [/tex]  f(A) [tex]\cap [/tex] f(B)

conclusion:   f(A[tex]\cap [/tex]B) =  f(A) [tex]\cap [/tex] f(B)

Est-ce que c'est correcte? L'inclusion inverse est vraie?
Merci