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#1 30-11-2011 22:12:29
- Indunil
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- Messages : 21
Intégrale dépendant d'un paramètre
Bonjour,
J'ai besoin de vos conseils pour calculer la limite suivante:
[tex]I = [/tex][tex]\lim_{n \to +\infty}[/tex][tex]\int^{+\infty}_{0} \frac {n log(1+\frac tn)}{(1+t^2)^2} \mathrm dt[/tex]
Je pense qu'il faut d'abord faire une interversion limite/intégrale, mais je ne sais pas quel théorème je dois utiliser.
[tex]\int^{+\infty}_{0} [/tex] [tex]\lim_{n \to +\infty} \frac {n log(1+\frac tn)}{(1+t^2)^2} \mathrm dt[/tex]
Or, [tex]\quad log(1+\frac tn) \quad \underset{+\infty}\sim \quad \frac tn[/tex]
donc, [tex]\lim_{n \to +\infty} \frac {n log(1+\frac tn)}{(1+t^2)^2} = \frac t{(1+t^2)^2}[/tex]
je trouve [tex]I = \frac 12[/tex]
Merci!
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#2 30-11-2011 22:30:27
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 349
Re : Intégrale dépendant d'un paramètre
Re-
Tu peux utiliser le théorème de convergence dominé.
Sur [0,+oo[, [tex]\log(1+x)\leq x[/tex]
Ainsi,
[tex]\frac{n\log(1+\frac tn)}{(1+t^2)^2}\leq \frac {t}{(1+t^2)^2}[/tex]
et la fonction à droite est intégrable.
Fred.
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#3 03-12-2011 17:45:44
- Indunil
- Membre
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- Messages : 21
Re : Intégrale dépendant d'un paramètre
Bonjour,
Je voudrais savoir une méthode pour calculer les dérivées des intégrales suivantes.
[tex]F(x) = \int^{1}_{0} \frac {e^{-x^2(1+t^2)}}{(1+t^2)} dt [/tex]
[tex]G(x) = - \left(\int^{x}_{0} e^{-t^2} dt \right)^2 [/tex]
Il faut vérifier que [tex]F' = G'[/tex]
Est-ce qui'il faut calculer les 2 dérivées explicitement pour obtenir l'égalité? ou y a t-il une autre méthode?
Merci de votre aide!
Dernière modification par Indunil (03-12-2011 18:51:28)
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#5 04-12-2011 18:48:19
- Indunil
- Membre
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- Messages : 21
Re : Intégrale dépendant d'un paramètre
Bonjour,
Donc la dérivée de [tex]G(x) = - \left(\int^{x}_{0} e^{-t^2} dt \right)^2 [/tex]vaut:
[tex]G'(x)= -2 \left(\int_0^xe^{-t^2}dt\right) \left(\int_0^xe^{-t^2}dt\right)' [/tex]
Je n'arrive pas à calculer [tex]\left(\int_0^xe^{-t^2}dt\right)'[/tex]
D'une part, avec le théorème de dérivabilité,
[tex]\frac d{dx} \left(\int_0^x e^{-t^2}dt\right) = \left(\int_0^x \frac {\partial e^{-t^2}}{\partial x} dt\right)[/tex]
Or, [tex]\frac {\partial e^{-t^2}}{\partial x} = 0[/tex]
D'autre part, avec le taux d'accroissement, soit [tex] h \in \mathbb{R^*}[/tex]
je trouve:
[tex]\left(\int_0^xe^{-t^2}dt\right)' = \lim_{h\to 0 \atop h\neq 0}\frac1h \left(\int_x^{x+h} e^{-t^2}dt\right) [/tex]Je ne sais pas simplifier.
Merci d'avance!
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#8 05-12-2011 22:43:14
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : Intégrale dépendant d'un paramètre
Salut Indunil,
Je ne répondrai pas à ta question pour plusieurs raisons :
1. Je suis fatigué ce soir.
2. Dans ce post, Roro et moi t'avons déjà répondu sans savoir si à la fin, tu as bien tout compris.
3. Pour que ce soit plus clair, il est d'usage dans ce forum qu'on ouvre une discussion par question.
Compare le sujet de cette discussion et ton dernier message : cela n'a plus rien à voir!
Cela dit, si tu tiens compte de 2. et de 3., je suis sûr que demain matin, je serai moins fatigué (ou plutôt Roro
d'ailleurs, c'est lui le spécialiste des équations avec des dérivées...)
Fred.
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#9 06-12-2011 07:40:30
- Indunil
- Membre
- Inscription : 22-10-2011
- Messages : 21
Re : Intégrale dépendant d'un paramètre
Bonjour Fred,
Les indications que vous m'avez donné précédemment ont beaucoup servies pour résoudre l'exercice.
L'exercice était la suivante:
Soit [tex]F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] et [tex]G: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] les fonctions définies par
[tex]F(x) = \int^{1}_{0} \frac {e^{-x^2(1+t^2)}}{(1+t^2)} dt [/tex] et [tex]G(x) = - \left(\int^{x}_{0} e^{-t^2} dt \right)^2 [/tex]
1. Montrer que F est définie, continue et dérivable sur [tex]\mathbb{R}[/tex].
2. Déterminer la limite de [tex]F[/tex] quand [tex]x[/tex] tend vers [tex]+\infty[/tex].
3. Calculer [tex]F(0)[/tex].
4. Vérifier que [tex]F' = G'[/tex].
5. En déduire la valeur de [tex]\int^{\infty}_{0} e^{-t^2} dt[/tex].
C'est pour le 5) que j'ai obtenu une équation différentielle.
J'ai posé [tex]A = \int^{x}_{0} e^{-t^2} dt[/tex]
donc,
[tex]G(x) = -A^2[/tex]
[tex]G'(x) = -2e^{-x^2}A[/tex]
[tex]-G(x) = \frac {(G'(x))^2}{4e^{-2x^2}}[/tex]
Une fois que je trouve [tex]G(x)[/tex] je fais [tex]x[/tex] tendre vers +[tex]\infty[/tex].
Merci de vos indications pour résoudre cette equation différentielle.
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#10 06-12-2011 10:47:22
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 349
Re : Intégrale dépendant d'un paramètre
Re-
Tu fais fausse route parce que tu as mal lu l'énoncé. La question 5 commence par En déduire
et là tu n'utilises pas du tout la question précédente.
Alors, que peut-on déduire immédiatement si F'=G'?
Fred.
PS : C'est beaucoup plus facile avec l'énoncé complet, parce que toute la difficulté de calculer cette intégrale,
c'est justement qu'on ne peut pas résoudre l'équation différentielle que tu obtenais en utilisant des fonctions usuelles.
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#11 06-12-2011 11:55:41
- Indunil
- Membre
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Re : Intégrale dépendant d'un paramètre
Bonjour,
C'est la propriété suivante que je devais utiliser: (je le connaissait pas avant)
"Dans l'univers des applications continues définies pour tout nombre réel et à valeurs réelles, deux fonctions ayant même dérivée ne diffèrent que par une constante"
Je vous remercie de m'avoir aidé à résoudre l'exercice!
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#12 24-12-2011 20:30:15
- mimita
- Invité
Re : Intégrale dépendant d'un paramètre
svp j'ai un prob sur les integrale double mais j'arrive pas a écrire l'integrale
comment je peux l'ecrire