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Indunil

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Espaces métriques complets

Bonjour,

Soient [tex](X,d)[/tex] un espace métrique complet, [tex](Y,δ)[/tex] un espace métrique, [tex]f[/tex] une application continue de [tex]X[/tex] dans [tex]Y[/tex] et [tex](F_n)[/tex] une suite décroissante de fermés de [tex]X[/tex] dont le diamètre tend vers 0.

Je dois montrer une double inclusion. Une inclusion est plus facile.
Comment montrer que [tex]f(\bigcap_n F_n)[/tex]  [tex]\supset[/tex]  [tex]\bigcap_n f(F_n)[/tex]

Merci!

Fred

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Re : Espaces métriques complets

Salut,

  Prenons [tex]y\in \bigcap_n f(F_n)[/tex], on peut donc trouver pour chaque [tex]n[/tex]
un élément [tex]x_n\in F_n[/tex] tel que [tex]y=f(x_n)[/tex]

Par le théorème des fermés emboités, [tex]\bigcap_n F-n=\{a\}[/tex], et la suite
[tex](x_n)[/tex] converge vers a. Mais alors, [tex](f(x_n))[/tex] converge vers f(a).
Ainsi, y=f(a), ce qui prouve bien que [tex]y\in f(\bigcap_n F_n)[/tex]

Fred.