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Indunil

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Messages : 21

Probabilité

Bonjour,

Soit [tex](X_k)[/tex] une suite de variables aléatoires indépendantes, telle que pour tout [tex]k \in \mathbb{N^*}, X_k[/tex] suit une loi uniforme sur l'intervalle [tex][-k;k][/tex]. Pour [tex]n \in \mathbb{N^*}[/tex] on note [tex]S_n = X_1+X_2+...+X_n[/tex] et [tex]\phi_{S_n}[/tex] sa fonction caractéristique.

Montrer l'équivalence [tex]ln\left(\phi_{\frac{S_n}{n^{3/2}}}(u)\right)[/tex] [tex]\underset{+\infty}{\sim} [/tex] [tex]- \sum_{k=1}^n {\frac{u^2}{6n^3}k^2}[/tex]

Est-ce que on peut dire que [tex]\frac{S_n}{n^{3/2}}[/tex] suit la loi uniforme comme étant combinaison linéaire de [tex]X_k[/tex]?
Dans ce cas comment obtenir sa densité ? s'il vous plaît.

Merci d'avance.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : Probabilité

Bonjour,

  Non, la somme de deux variables aléatoires (même indépendantes) qui suivent une loi uniforme ne suit pas forcément une loi uniforme.
Ici, tu dois utiliser plutôt :
1. Le calcul direct de la fonction caractéristique d'une loi uniforme.
2. La propriété qui donne la fonction caractéristique d'une somme en fonction du produit des fonctions caractéristiques, lorsque
les variables aléatoires sont indépendantes.

Fred.