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#1 02-11-2010 20:35:40
- MIAS2
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Topologie
Bonsoir, j'ai un problème avec cette exercice de topologie, Soit [tex]\ (E,d)[/tex] un espace métrique et [tex]\ d[/tex] est une distance. Soit [tex]u \in E[/tex] et [tex]A, B[/tex] des fermés de [tex]E[/tex] qui sont disjoints et soit [tex]f[/tex] une application qui va de [tex]E[/tex] dans [tex]E[/tex] avec [tex]f(u) = \frac{d(u,A)}{d(u,A)+d(u,B)}[/tex]. On me demande de montrer que [tex]f[/tex] est continue, ensuite on me demande de montrer qu'il existe des ouverts [tex]U\supset A[/tex] et [tex]V\supset B[/tex] avec [tex](U\cap V)=\varnothing[/tex].
Pour la continuité de [tex]f[/tex] je l'ai montré mais je n'arrive pas à montrer l'existence de ces ouverts. Qu'est ce que je pourrais faire pour répondre à cette question. J'ai pensé aux intérieurs des fermés mais je ne sais pas ou ça peut me mener. Merci de me donner des pistes.
Dernière modification par MIAS2 (02-11-2010 20:41:11)
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#2 02-11-2010 21:20:34
- Fred
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Re : Topologie
Bonsoir,
Voici une piste. Tes ouverts U et V, tu vas les définir comme image réciproque par f d'intervalles ouverts de R,
ie [tex]U=f^{-1}(I)[/tex] et [tex]V=f^{-1}(J)[/tex]
Comment construire ces intervalles? Tu veux qu'ils soient disjoints, pour que U et V soient disjoints.
Tu veux aussi que [tex]f(A)\subset I[/tex] (pour que [tex]A\subset U[/tex]) et que [tex]f(B)\subset J[/tex] (pour que
[tex]B\subset V[/tex]).
Maintenant, [tex]f(A)=\{0\}[/tex] et [tex]f(B)=\{1\}[/tex], ce qui devrait te permettre de conclure...
Fred.
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