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#1 22-10-2011 23:25:41
- Indunil
- Membre
- Inscription : 22-10-2011
- Messages : 21
Les images directes d'une application
Bonjour,
1) Montrer que f(A[tex]\cap[/tex]B) [tex]\subset [/tex] f(A) [tex]\cap[/tex] f(B)
L'inclusion inverse est-elle vraie?
2) Montrer que f(E)\ f(A) [tex]\subset [/tex] f(E\A)
L'inclusion inverse est-elle vraie?
Merci d'avance.
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#3 23-10-2011 10:39:35
- Indunil
- Membre
- Inscription : 22-10-2011
- Messages : 21
Re : Les images directes d'une application
Bonjour,
1) soit x [tex]\in [/tex] f(A[tex]\cap [/tex]B)
x [tex]\in [/tex] f(A[tex]\cap [/tex]B) [tex]\Longleftrightarrow [/tex] f -1(x) [tex]\in [/tex] A[tex]\cap [/tex]B
[tex]\Longleftrightarrow [/tex] f -1(x) [tex]\in [/tex] A et f -1(x) [tex]\in [/tex] B
[tex]\Longleftrightarrow [/tex] x [tex]\in [/tex] f(A) et x [tex]\in [/tex] f(B)
[tex]\Longleftrightarrow [/tex] x [tex]\in [/tex] f(A) [tex]\cap [/tex] f(B)
conclusion: f(A[tex]\cap [/tex]B) = f(A) [tex]\cap [/tex] f(B)
Est-ce que c'est correcte? L'inclusion inverse est vraie?
Merci
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#4 23-10-2011 21:30:39
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : Les images directes d'une application
Bonsoir,
Non, ce n'est pas correct. Tu n'as pas le droit de parler de [tex]f^{-1}(x)[/tex] car on ne sait pas si f est bijective.
Ce que tu peux écrire, c'est que
[tex]x\in f(A\cap B)\iff \exists y\in A\cap B,\ x=f(y)[/tex]
Tu peux assez facilement en déduire que nécessairement [tex]x\in f(A)\cap f(B)[/tex].
Pour la réciproque, si tu prends [tex]x\in f(A)\cap f(B)[/tex], alors tu peux écrire que
[tex]\exists y\in A,\ x=f(y)[/tex] et [tex]\exists z\in b,\ x=f(z)[/tex]. Le problème, c'est qu'il n'y pas de raison que
y soit égal à z. Il faut maintenant trouver un contre-exemple pour prouver que l'inclusion inverse est fausse.
En voici un : prends f définie sur R et identiquement égale à 1, et prend A={0} et B={1}.
Fred.
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#5 23-10-2011 21:35:24
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 801
Re : Les images directes d'une application
Bonsoir,
1) soit x [tex]\in [/tex] f(A[tex]\cap [/tex]B)
Pourquoi un tel [tex]x[/tex] existe-t-il ?
Regarde l'exemple suivant : [tex]f=\sin[/tex], [tex]A=[0,\pi][/tex] et [tex]B=[2\pi,3\pi][/tex].
Roro.
P.S. Encore doublé par Fred !
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#7 26-10-2011 08:16:09
- Indunil
- Membre
- Inscription : 22-10-2011
- Messages : 21
Re : Les images directes d'une application
Il faut maintenant trouver un contre-exemple pour prouver que l'inclusion inverse est fausse.
En voici un : prends f définie sur R et identiquement égale à 1, et prend A={0} et B={1}.
Bonjour,
Dans ce cas, f(A)=[tex]\left\{1\right.[/tex][tex]\left\}\right.[/tex] et f(B)=[tex]\left\{1\right.[/tex][tex]\left\}\right.[/tex]
Donc f(A) [tex]\cap [/tex] f(B) = [tex]\left\{1\right.[/tex][tex]\left\}\right.[/tex]
soit x [tex]\in [/tex] f(A) [tex]\cap [/tex] f(B) alors x = 1
D'autre part, A[tex]\cap [/tex]B = [tex]\varnothing[/tex]
Mais là, f([tex]\varnothing[/tex]) vaut 1 ou [tex]\varnothing[/tex] ?
Merci
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