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Indunil

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Quelques propriétés de la loi normale

Bonjour,

Voici un exercice de probabilité. Si quelqu'un pourrait m'éclaire sur certains points.

Exercice:
Soit une variable aléatoire X qui suit la loi normale centrée réduite.

(a)  Calculer les espérances de E(X^n) pour n[tex]\geq [/tex]1.
       En déduire Var(X).
       Indication: pour n un entier pair, on pourra exprimer E( X^(n+2) ) en fonction de E(X^n)

J'ai essayé de calculer E( X^(n+2) ) et je me trouve face à [tex]\int^{}_{}[/tex] x^(n+2) ( exp(-x²/2) ) dx
J'ai essayé une IPP mais je n'y arrive pas.

(b) On note F la fonction de répartition de X. Exprimer F(-t) en fonction de F(t).

Même problème ici, je dois calculer  [tex]\int^{}_{}[/tex] ( exp(-x²/2) ) dx

Merci

Fred

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Re : Quelques propriétés de la loi normale

Bonjour,

  D'abord, si n est impair, l'espérance de  [tex]X^n[/tex] est nulle (car tu intègres une fonction impaire sur [tex]\mathbb R[/tex], dont l'intégrale est nécessairement nulle). Pour les entiers pairs, tu as raison, une intégration par partie donne le résultat. Le plus dur est de trouver ce qu'il faut dériver, et ce qu'il faut intégrer. Il faut écrire
[tex]x^{n+2}\exp(-x^2/2)=x^{n+1}\times x\exp(-x^2/2)[/tex], puis poser [tex]u'(x)=x\exp(-x^2/2)[/tex]
et [tex]v(x)=x^{n+1}[/tex]

Concernant ta deuxième question, tu dois en fait comparer
[tex]\frac 1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^t \exp(-x^2/2)dx[/tex] et [tex]\frac 1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{-t} \exp(-x^2/2)dx[/tex]

L'idée est que
[tex]\int_t^{+\infty}\exp(-x^2/2)dx=\int_{-\infty}^{-t}\exp(-x^2/2)dx[/tex] (il faut faire un changement de variables pour passer de l'une à l'autre). Puis tu écris

[tex]1=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-x^2/2)dx=F(t)+\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_t^{+\infty}\exp(-x^2/2)dx[/tex],

et enfin tu remplaces le dernier terme par ce que l'on a écrit plus tôt.

Fred.

Indunil

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Re : Quelques propriétés de la loi normale

Bonjour,

Je vous remercie pour la réponse précédente.
J'ai une question indépendante de celle d'avant.

Soit X une variable aléatoire de loi N(0,1). Déterminer la loi de Z=X²+2X.

Ma réponse:

Soit φ bornée, continue.
D'une part, E[φ(Z)] = [tex]\int^{}_{R}[/tex] φ(z) f(z) dz                où f(z) est une densité de z.
D'autre part, E[φ(Z)] = [tex]\int^{}_{R}[/tex] φ(x²+2x) f(x) dx      où f(x) est une densité de x.

changement de variable: z=x²+2x donne x= -1[tex]\pm [/tex][tex]\sqrt{1+z}[/tex]
donc dx=[tex]\pm [/tex] [tex]\frac{1}{2\sqrt{1+z}}[/tex] dz

Par le critère de la fonction muette,

f(z) = [tex]\frac{1}{2\pi}[/tex]exp([tex]\frac{(-1\pm\sqrt{1+z})²}{-2}[/tex]) [tex]\frac{(\pm1)}{2\sqrt{1+z}}[/tex]

Merci de votre aide.

Fred

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Re : Quelques propriétés de la loi normale

Bonjour,

  Il y a au moins deux problèmes dans ce que tu proposes :
1. On ne peut pas définir une fonction avec [tex]\pm[/tex]. Il faut une vraie formule....

2. Tu ne peux pas parler de [tex] \sqrt{1+z}[/tex] si [tex]z<-1[/tex].

Le problème vient du changement de variables qui est réalisé de façon un peu abrupte.
On ne peut le faire que sur des intervalles où on a une bijection. La fonction [tex]x\mapsto x^2+x[/tex] est une bijection de
[tex]]-\infty,-1/2[ [/tex] sur [tex]]a,+\infty[ [/tex] (je te laisse déterminer [tex]a[/tex], il suffit d'étudier la fonction), et aussi de [tex] ]-1/2,+\infty[ [/tex] sur [tex] ]a,+\infty[ [/tex].

Tu écris ensuite

$$E(\varphi(Z))=\int_{-\infty}^{-1/2}\varphi(x^2+x)f(x)dx+\int_{-1/2}^{+\infty}\varphi(x^2+x)f(x)dx$$

Tu fait dans chaque intervalle le changement de variables (attention, l'équation [tex] z=x^2+x [/tex] n'a pas la même solution sur chaque
intervalle, tu dois parfaitement mettre un -, parfois mettre un +), tu obtiens deux intégrales entre a et [tex]+\infty[/tex], et tu
vas pouvoir identifier....

Fred.