Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Salut,

Je vais être mordant sur ce coup : la définition officielle est la définition citée par Yoshi, a savoir que la partie décimale d'un nombre c'est "le nombre a droite de la virgule", mais la définition officielle a tort.

Certes, elle est vraie, comme toute définition. Mais elle a tout de même tort.

D'une part, car elle est floue. Le terme nombre peut en effet induire en erreur de nombreux élèves. Comment expliquer à des élèves de sixième que 325,5 et 325,05 n'ont pas la même partie décimale, mais que 05 et 5 représentent le même nombre ? De manière formelle, ce qu'il y a à gauche et à droite de la virgule ne sont pas des nombres mais des suites de chiffres.

De plus, les opérations mathématiques sont avec cette définition sont assez "sportives"... Quid de 325,05 + 100,5 ? J'imagine bien un élève de sixième muni de cette définition mauvaise faire comme calcul pour la partie décimale 05 + 5 = 10... au lieu de faire 0,05 + 0,5.

Enfin, cerise sur le gâteau : quelle est la partie décimale de pi ? C'est soit le nombre 0,1415... soit la suite de chiffres 1415... mais en aucun cas le nombre 1415... puisqu'un tel nombre n'existe pas. Je me demande quelle réponse aurait un élève qui poserait la question "Monsieur, la partie décimale de pi, c'est quoi comme nombre ?". Deux heures de colle ? L'obligation d'apprendre par cœur toutes les décimales de pi pour les réciter le lendemain à l'envers devant toute la classe ? "Vous êtes trop petits pour comprendre" ? "Ce n'est pas au programme" ?

Ou alors, LA réponse d'anthologie, digne de figurer dans un palmarès des pires réponses aux élèves : "le NOMBRE 1415...".

Certes, pi n'est pas un nombre décimal, mais ce n'est pas pour cela qu'il n'admet pas de partie décimale : sa partie décimale est simplement infinie. D'ailleurs, pi est au programme des écoles, lorsque l'on voit les formules de calcul des aires.

Le problème peut être résolu complètement en parlant de suites de chiffres au lieu de nombre. Par exemple, la partie décimale de 325,45 ne serait pas "quarante-cinq" mais "zéro suivi de cinq", de même que 325,05 n'aurait pas pour partie décimale "cinq" mais "zéro cinq". Les élèves de sixième manipulant tous les jours des numéros de téléphones qui ne sont rien d'autre que des suites de chiffres, cette définition ne poserait aucun problème pour eux. Et ils comprendraient que 05 et 5 ne sont pas la même partie décimale, de même qu'ils comprennent que 0476131313 et 476131313 ne sont pas le même numéro de téléphone.

Mais bon, changer la définition n'est qu'une solution temporaire, qui ne résoudra pas les problèmes de fond. Après tout, ce n'est qu'une définition, c'est à dire la suite de mots écrite à droite des ":" - "partie décimale" étant écrite à gauche - qu'il faut encadrer en rouge sur le cahier de mathématiques, sous peine de recevoir 4 heures de colle, mais surtout par comprendre car "ça sert à rien, c'est pas noté".

La vraie solution consisterait plutôt à déboulonner ceux qui font de telles définitions stupides.

Signé : le cancre de sixième qui s'est pris une retenue car il n'a pas encadré en rouge une définition dans son cahier de maths, sur la mauvaise pente d'après sa prof de français...

Salut,

Ce sujet est déjà, sous diverses formes, revenu des centaines, voire des milliers de fois. Et comme le serpent se mord la queue, chaque fois que le sujet revient, une bonne âme donne un lien vers le sujet précédent où ce sujet a déjà été abordé. En l’occurrence, ici : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?pid=33170

Seulement, le problème, c'est que comme pour les sommes infinies, qui ont des termes jusqu'au bout, ici, il y a des sujets jusqu'au bout.....

Non.

Un développement en série entière est certes "centré" en un point particulier, mais n'en reste pas moins un développement global valable en tout point situé à l'intérieur du rayon de convergence. Par contre, un DL en 0 ne sera, lui, valable qu'aux alentours de 0.

La confusion que tu fais entre les deux est classique et s'explique aisément par les raisons suivantes :

1/ Toute fonction admettant un développement en série entière est de classe [tex]C^{\infty}[/tex] à l'intérieur de son rayon de convergence, et donc admet en tout point de son rayon de convergence un développement limité.

2/ Dans ce cas, le développement en série entière et le développement limités sont identiques.

Par contre, il ne faut pas confondre les deux car, même si toutes les fonctions de classe [tex]C^{\infty}[/tex] admettent un développement limité, elle n'admettent pas nécessairement un développement en série entière. Un contre-exemple célèbre est la fonction [tex]f(x) = e^{- \frac{1}{x^2}}[/tex], prolongée par continuité en 0, qui est de classe [tex]C^{\infty}[/tex] sur R tout entier, et qui admet donc un développement limité en tout point de R. Le développement limité de cette fonction en 0 a tous ses termes nuls, et d'ailleurs le tracé de la fonction est particulièrement "plat" en 0. Par contre, elle n'admet pas de développement en série entière car un tel développement en série entière aurait tous ses termes nuls, et la fonction n'est pas nulle. Y compris par ailleurs si l'on centre le développement en série entière en un autre point que 0.

On pourrait en dire beaucoup plus sur le sujet, mais il faudrait parler d'analyse complexe, et je ne suis pas sûr qu'elle soit à ton programme.

EDIT : Grillé par Fred.

Bonjour,

Trois choses me gênent dans ce que tu dis :

1/ Existe t-il forcément une tangente en 0 ? Exemple : f(x) = abs(x) n'a pas de tangente en 0.

2/ Pourquoi l'un exclurait-il l'autre ? Prends par exemple la tangente en 0 de la fonction f définie par f(x) = x^3.

3/ Imagine une fonction en forme de "bosses de chameau" et une droite qui est tangente aux deux bosses. Il y a dans ce cas deux points d'intersection.

Notons que je n'ai pas pris là de fonctions particulièrement tordues et que l'on trouve fréquemment des exemples de ces cas dans le monde réel.

Cependant, ton raisonnement est malgré tout presque juste, il manque juste quelques résultats mathématiques, hélas pas à ton programme (mais que je vais quand même détailler ici).

Un des problèmes, c'est que la dérivée et le contact (c'est le nom de la relation mathématique qui lie la tangente et la courbe à laquelle elle est tangente) sont des propriétés locales : ce qui se passe aux alentours d'un point est indépendant de ce qui se passe ailleurs. On voit bien ce problème dans le point 4 : un découpage habile de la courbe autour des bosses nous ramène à une fonction "sympa".

Le point important ici, c'est que la fonction traitée ici est convexe ou concave et dérivable partout.

D'un côté, je n'arrive pas à trouver de contre-exemple probant, de l'autre, je n'arrive pas à montrer rigoureusement que cela fonctionne. Je reviens plus tard : cette question est vraiment beaucoup plus difficile qu'il n'y parait... en tout cas, ce n'est absolument pas une question stupide, bien au contraire !

On est entièrement d'accord sur ce dernier point !
A bientôt.

Salut,

1/ Il n'y a pas un seul réel A qui vérifie cette condition, il y en a une infinité. Ce n'est donc pas le réel A mais un réel A, n'importe lequel. C'est d'ailleurs ce qui importe pour l'usage de la définition.

2/ [tex]A = \sqrt[4]{B}[/tex] convient, vu que [tex]2 x^3 + 1 > 0[/tex]. Cependant la valeur que tu proposes convient aussi.

3/ Avec [tex]B = 10^6[/tex], [tex]A = 10^{\frac{3}{2}}[/tex] convient.

4/ Que veux-tu dire par "ça ne veut rien dire" ? Car, à part quelques détails, cela m'a l'air plutôt bon.

Bonjour,

Cette indication, sans plus de précisions, ne nous donne AUCUNE indication sur la nature du chiffrement employé, vu que :

1/ Tous les tableurs connus ont un langage de macros.

2/ Tous les langages informatiques sont équivalents entre eux. On peut même le démontrer mathématiquement.

Maintenant, pour juger de la solidité de ton machin, il me faudrait beaucoup plus d'indications et surtout beaucoup plus de temps. Pourquoi ne pas tout simplement utiliser AES ou un autre algorithme connu, ce qui a l'avantage de ne pas avoir à refaire la recherche des failles potentielles, vu qu'elle a déjà été faite. Je ne me permets pas de douter de tes capacités mais, franchement, un individu face à TOUTE la communauté des cryptanalystes, dont lui-même, ne peut pas faire le poids. D'autant plus que l'individu (je parle de manière générale) à souvent un métier à côté, alors que les cryptanalystes professionnels, eux, font cela toute la journée et sont payés pour car, justement, c'est leur métier ?

Et puis, chiffrer est une chose, le faire intelligemment en est une autre. En effet, la CIA et autre ont d'autres moyens, y compris la torture, pour faire cracher aux gens les clefs. Cette page résume bien le problème : http://xkcd.com/538/ Et lorsque tu envoies par le web un message chiffré, tu envoies à tous ceux qui voient le message une indication souvent encore plus précieuse que le message lui-même : "il y a quelque chose de caché dans ce message". Alors que le même message non chiffré passera dans la masse. Extra bonus si tu chiffre seulement les messages "importants".

Enfin, il y a les faiblesses d'implémentation des algorithmes de chiffrement. Un exemple classique (mais il y en a hélas des tas d'autres !) et le swapping utilisé par les systèmes d'exploitations. Le simple fait de stocker la clef dans une variable t'expose au risque qu'elle finisse stockée dans la mémoire swap, pour un temps indéterminé. Et tester toutes les positions possibles du disque dur pour trouver la clef, ça ne prend pas beaucoup de temps...

Je ne cherche absolument pas à te décourager, bien au contraire, mais il faut que tu te poses les bonnes questions. J'en vois 4 :

1/ Quel algorithme de chiffrement utiliser ?
2/ Comment l'implanter ? En logiciel ou en matériel ?
3/ Contre quoi, qui je cherche à me protéger ? De quels moyens dispose ce quelqu'un ?
4/ L'indication comme quoi je cache quelque chose est-elle moins importance que le quelque chose à cacher ?

Perso, actuellement, mon seul usage du chiffrement, c'est sur mon ordi portable, pour me prévenir d'ennuis si on le vole. Mais en aucun cas pour me protéger du CIA/FBI et tout et tout.

A bientôt,
Hadrien

Salut,

@yoshi : oui, c'est moi le gaffeur. Désolé. Pourtant, j'ai soigneusement vérifié en faisant "prévisualiser" avant de poster.

Maintenant, quelle est la cause exacte du bug ? Aucune idée.

Salut,

Le raisonnement est un classique du genre :

* Il y a \(2^{10}-1=1023\) sous-ensembles non vides possibles.

* La somme des 10 nombres est comprise entre 1 et \(10*100=1000\). Il y a donc 1000 sommes possibles.

1024>1000, donc, d'après le principe des tiroirs, il y a obligatoirement deux sous-ensembles dont la somme des éléments est identique. Ils ne sont pas nécessairement disjoints, mais ce n'est pas grave, car il suffit d'enlever les éléments communs aux deux ensembles pour résoudre le problème.

Maintenant que l'on a prouvé l'existence de la solution, comment la déterminer ?

On peut procéder, par ordinateur, ainsi : on construit un tableau de 1000 cases, autant que de sommes possibles. Ensuite, on énumère les 1024 sous-ensembles possibles. Pour chaque sous-ensemble, on stocke le sous-ensemble dans la case du tableau correspondant à la somme des éléments de l'ensemble si cette dernière est vide. Si elle est déjà pleine, on retourne les deux ensembles, dont on aura au préalable retiré les éléments disjoints.

A noter que la démonstration est nécessaire à la construction de l'algorithme, ne serais-ce que pour déterminer les structures de données optimales à sa résolution.

Maintenant, comment résoudre ce problème à la main ?

On peut toujours trouver des bornes plus fines pour la somme, mais cela ne réduit qu'assez peu la taille du problème.

Je réfléchis encore à ce problème, mais plus tard.

Salut,

1) La limite d'un polynôme en [tex]+\infty[/tex] ou en [tex]-\infty[/tex] est celle de son terme de plus haut degré. Une fonction polynome a donc en [tex]+\infty[/tex] ou en [tex]-\infty[/tex] seulement [tex]-\infty[/tex], 0 ou [tex]+\infty[/tex] comme limites possible. La condition [tex]\lim_{x \to -\infty} f_P(x) = -y_{sat}[/tex] est donc impossible, sauf si [tex]y_{sat} = -\infty[/tex], [tex]y_{sat} = 0[/tex] ou [tex]y_{sat} = +\infty[/tex]. Même chose pour [tex]\lim_{x \to +\infty} f_P(x) = +y_{sat}[/tex].

2) Comme arctan est une fonction impaire, tu peux supposer sans perte de généralité que [tex]\beta[/tex] est strictement positif.

3) [tex]\lim_{x \to -\infty} arctan(x) = - \frac{\pi}{2}[/tex] et  [tex]\lim_{x \to +\infty} arctan(x) = \frac{\pi}{2}[/tex]. De là, tu peux déduire aisément la valeur de [tex]\alpha[/tex].

4) [tex]f_P(0) = 0[/tex] quel que soit la valeur de [tex]a_1[/tex], [tex]a_3[/tex] et [tex]a_5[/tex].

5) Les développements limités ne fonctionnent qu'en 0. Si tu veux travailler en [tex]-\infty[/tex] ou en [tex]+\infty[/tex], il te faut faire un développement asymptotique, en faisant le changement de variable [tex]h = \frac{1}{x}[/tex] et en faisant ensuite un développement limité en h.

6) Que vient faire la méthode de Newton la-dedans ?

Ce sujet est-il le sujet donné par ton prof, tel quel, ou l'as-tu formulé toi-même ? Et puis, ces équations, c'est pour quoi faire ? On te demande explicitement de les résoudre ou est-ce une étape intermédiaire dans la résolution d'un problème d'autre chose ?

A bientôt,
Hadrien

Non. Tu es tombé en plein dans l'erreur classique !

D'ailleurs, le produit dont tu parles n'a pas vraiment de sens. (Du moins, formulé tel quel.)

Le produit cartésien de deux ensembles A et B n'est ABSOLUMENT pas l'ensemble des produits ! C'est simplement l'ensemble des couples d'éléments (a,b) avec a dans A et b dans B. On l'appelle produit non pas parce que ses éléments sont des produits mais car [tex]card(A \times B) = card(A) \times card(B)[/tex].

Je t'invite à relire les définitions d'un produit cartésien d'ensemble et l'isomorphisme chinois.

Salut,

Je vais la poster dans un sujet à part, car c'est vraiment un classique, dès que j'aurai le temps.