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#2 08-11-2011 21:23:22
- Fred
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Re : Question existencielle : DSE/DL
Bonsoir,
La différence, c'est que les développements limités ne te donnent qu'une information locale, avec un reste dont on sait très peu de choses, si ce n'est sa limite. Les développements en série entière te donnent toute l'information possible sur une fonction, au prix d'une somme infinie au lieu d'une somme finie. Mais tu peux avoir des informations globales et non locales, des informations sur la régularité, etc....
Fred.
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#4 11-11-2011 18:12:22
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 348
Re : Question existencielle : DSE/DL
Non, absolument pas!
Par exemple, le DL à l'ordre 1 en 0 de sin(x) est sin(x)=x+o(x)
Le développement en série entière de sin(x) en 0 est : [tex]\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/tex]
C'est beaucoup plus précis....
Tout ce que l'on fait avec des DL, on pourrait le faire avec des DSE, mais ce serait plus difficile de manier les calculs sur une somme infinie que sur une somme finie.
Fred.
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#5 11-11-2011 18:26:45
Re : Question existencielle : DSE/DL
Mais cependant, parfois on demande des développements en série entière en 0 par exemple, cela revient donc à un DL!
Non.
Un développement en série entière est certes "centré" en un point particulier, mais n'en reste pas moins un développement global valable en tout point situé à l'intérieur du rayon de convergence. Par contre, un DL en 0 ne sera, lui, valable qu'aux alentours de 0.
La confusion que tu fais entre les deux est classique et s'explique aisément par les raisons suivantes :
1/ Toute fonction admettant un développement en série entière est de classe [tex]C^{\infty}[/tex] à l'intérieur de son rayon de convergence, et donc admet en tout point de son rayon de convergence un développement limité.
2/ Dans ce cas, le développement en série entière et le développement limités sont identiques.
Par contre, il ne faut pas confondre les deux car, même si toutes les fonctions de classe [tex]C^{\infty}[/tex] admettent un développement limité, elle n'admettent pas nécessairement un développement en série entière. Un contre-exemple célèbre est la fonction [tex]f(x) = e^{- \frac{1}{x^2}}[/tex], prolongée par continuité en 0, qui est de classe [tex]C^{\infty}[/tex] sur R tout entier, et qui admet donc un développement limité en tout point de R. Le développement limité de cette fonction en 0 a tous ses termes nuls, et d'ailleurs le tracé de la fonction est particulièrement "plat" en 0. Par contre, elle n'admet pas de développement en série entière car un tel développement en série entière aurait tous ses termes nuls, et la fonction n'est pas nulle. Y compris par ailleurs si l'on centre le développement en série entière en un autre point que 0.
On pourrait en dire beaucoup plus sur le sujet, mais il faudrait parler d'analyse complexe, et je ne suis pas sûr qu'elle soit à ton programme.
EDIT : Grillé par Fred.
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#7 14-11-2011 15:56:14
Re : Question existencielle : DSE/DL
(Effectivement, je n'ai jamais entendu parler d'analyse complexe!)
C'est franchement dommage. Car en faisant un développement en série de Laurent de la fonction dont je t'ai parlée, on voit immédiatement pourquoi elle n'admet pas de développement en série entière centré en 0.
Je te laisse ceci en exercice : faire un développement en série de Laurent de la fonction dont je t'ai parlé. Deux indications pour t'aider : on obtient de développement en composant le développement en série entière de la fonction exponentielle et la fonction [tex]f(x) = - \frac{1}{x^2}[/tex].
Au passage, même si la fonction de R dans R [tex]f(x) = e^{- \frac{1}{x^2}}[/tex] est [tex]C^{\infty}[/tex] en 0, la fonction de C dans C [tex]f(x) = e^{- \frac{1}{x^2}}[/tex] n'est même pas continue en 0. En effet, la limite de cette fonction en 0 n'est pas la même lorsque l'on tend vers 0 en passant par l'axe des réels et lorsque l'on tend par l'axe des imaginaires purs.-
Je poste tel quel pour l'instant. Si tu as du mal à voir ce que j'essaie de dire, je donnerai plus de détails.
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