Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Encore des prisonniers

Bonjour,

  Un groupe de 12 prisonniers doit être exécuté demain.
Les gardes leur laisse une dernière chance s'ils sont capables de répondre au problème suivant :
les 12 prisonniers sont partagés en deux groupes de 6, qui sont isolés dans deux pièces différentes et ne se voient pas.
On les appellera groupe A et groupe B.

A chaque prisonnier, on donne un chapeau, qui est rouge ou vert. On leur précise aussi que les nombres de chapeaux distribués sont tous pairs
(ex: 10 rouges/0 vert, 8 rouges/2 verts, ...). Le groupe B doit deviner le nombre de chapeaux de chaque couleur pour les deux groupes.
Pour cela, ils ont droit à un procédé en plusieurs temps :
1. Le groupe A dit le mot "Vrai" ou "Faux" à un garde, qui le transmet au groupe B.
2. Si le groupe B est incapable de deviner le nombre de chapeaux, alors un des chapeaux du groupe A est envoyé vers le groupe B, et à nouveau
le groupe A peut transmettre le mot "Vrai" ou "Faux" au groupe B.
3. Le groupe B doit alors impérativement trouver le bon nombre de chapeaux, sinon, c'est la mort pour tous.

J'espère que l'énigme est assez claire....

Fred.

nerosson

Membre actif

Inscription : 21-03-2009

Messages : 1 658

Re : Encore des prisonniers

Salut à tous,

les 12 prisonniers sont partagés en deux groupes de 6...

...(ex: 10 rouges/0 vert, 8 rouges/2 verts,)...

Est-ce qu'il n'y a pas une contradiction : ils sont 10 ou ils sont 12 ?

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : Encore des prisonniers

Est-ce qu'il n'y a pas une contradiction : ils sont 10 ou ils sont 12 ?

Tiens, je ne sais plus compter jusque 12.

Fred.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : Encore des prisonniers

salut Fred.
pourriez vous me dire qui es ce qui choisit le chapeau qui sera transmit du groupe B au groupe A? es ce que c'est juste un moyen de détourner l'attention! car je crois qu'ont pourrait bien s'en passer pour résoudre l'énigme. selon ma compréhension du problème, voila une solution.

C'est le garde qui choisit quel chapeau va du groupe A au groupe B.
Est-ce que tu pourrais détailler ta solution, je n'ai pas compris ce que codait Vrai la première fois (tu parles de parité, et de 0,1,2,3...).

Fred.

thadrien

Membre

Lieu : Grenoble

Inscription : 18-06-2009

Messages : 526

Site Web

Re : Encore des prisonniers

C'est le garde qui choisit quel chapeau va du groupe A au groupe B.
Est-ce que tu pourrais détailler ta solution, je n'ai pas compris ce que codait Vrai la première fois (tu parles de parité, et de 0,1,2,3...).

A bon avis, c'est une sorte de code binaire qui est employé.

amatheur

Membre

Inscription : 02-10-2011

Messages : 299

Re : Encore des prisonniers

re
Le groupe B doit deviner le nombre de chapeaux de chaque couleur pour les deux groupes.

punaise!
voila ce qui m’échappait, aucun groupe ne connait le nombre précis des chapeaux dont il dispose :), désole Fred pour cette méga-bourde, je vais supprimer mes propositions simplistes :)

Dernière modification par amatheur (03-11-2011 17:36:12)

karlun

Membre

Inscription : 05-05-2010

Messages : 216

Re : Encore des prisonniers

Bonjour,

J'essaye.

La répartition des possibles:

Donc si à la question implicite est vrai (ou faux) Alors:

La question serait de cette sorte:

Vous venez de recevoir un chapeau.
Le rapport entre le nombre de chapeau vert avec le nombre de chapeau rouge est plus grand que 1.

Donc, recevant un chapeau, B calcule x=v/r et obtient soit x>1 ou x<1.
Évidemment, si v/r=0 ou oo   B en déduit que A a 5r ou 5 v

Si A répond « vrai » alors x>1 et B sachant qu'il possède (2r+5v) ou (3r+4v) en déduira que A possède respectivement (2r+3v) ou (1r+4v).

Si A répond « faux » alors x<1 et B sachant qu'il possède (4r+3v) ou (5r+2v) en déduira que A possède respectivement (4r+1v) ou (3r+2v).

A+-*/

Dernière modification par karlun (04-11-2011 12:32:37)

amatheur

Membre

Inscription : 02-10-2011

Messages : 299

Re : Encore des prisonniers

salut
@karlun, relis l'enoncé, "Le groupe B doit deviner le nombre de chapeaux de chaque couleur pour les deux groupes." moi j'en déduis que le groupe B ne connait pas la combinaison des chapeaux dont il dispose.
@FRED. dans ces conditions, même si le groupe A arrive à communiqué au groupe B  sa combinaison de chapeaux, je ne crois pas que celui ci arriverait à deviner la sienne.

Dernière modification par amatheur (04-11-2011 14:26:19)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : Encore des prisonniers

Re-

  Si, le groupe B connait les chapeaux qu'il a.

Fred.

karlun

Membre

Inscription : 05-05-2010

Messages : 216

Re : Encore des prisonniers

'lut

@ Amatheur: Oui en effet cette remarque est pertinente.
Pourtant je pense que le mot deviner n'est pas à prendre à la lettre car:

Il n'est pas dit qu'il fait un noir d'encre.
et si c'était le cas, comment un groupe pourrait agir incapable de connaître la couleur de leur casquette respective  ni la couleur de la casquette transmise?

A+-*/

Dernière modification par karlun (04-11-2011 13:48:28)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : Encore des prisonniers

Re-

  Pour Karlun, j'ai simplement dit que le nombre total des chapeaux de chaque couleur est pair, pas que dans chaque groupe ce nombre est pair.

Fred.

karlun

Membre

Inscription : 05-05-2010

Messages : 216

Re : Encore des prisonniers

re,

Ce sur quoi je tiquais c'était:

"On leur précise aussi que les nombres de chapeaux distribués sont tous pairs".

Les nombres de chapeaux distribués:                                comment l'entendre?
(en plus ils) sont tous pairs...                                alors j'en ai déduit qu'on les distribuait par deux...

Merci pour cette précision.

"j'y retourne immédiatement"...

A+-*/

amatheur

Membre

Inscription : 02-10-2011

Messages : 299

Re : Encore des prisonniers

salut

▼solution

si le groupe B connait les chapeaux qu'il a, alors la solution est comme suit.
soit Va le nombre de chapeaux verts dans le groupe A, si Va<=3, il dit VRAI, sinon faux, et comme Va+Vb est pair , et comme Vb est connu, alors le groupe B, pourra en déduire si Va est pair ou impair, dans ces conditions, il ne pourra répondre exactement que si Va=5 ( c'est à dire qu'il va recevoir le message faux alors qu'il dispose d'un nombre impair de chapeaux verts), sinon le deuxième message sera codé comme suit: vrai si Va prend une des valeurs ( 0;1;4) et faux si Va prend une des valeurs (2;3;6).
dans cette solution je me passe de la transmission du chapeau du groupe A au groupe B

Dernière modification par amatheur (04-11-2011 14:37:47)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : Encore des prisonniers

Bravo amatheur!

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Encore des prisonniers

Salut,

je n'ai pas consulté les propositions ci-dessus, et je comprends qu'amatheur a trouvé. Comme je viens d'un peu réfléchir, je donne mon idée.

Pour ma part, je relève que le groupe A a trois codes disponibles : "vrai", "faux" et ne "rien" dire. On relève aussi que la parité du nombre des chapeaux de B (nombre pair ou impair de vert par exemple, et donc de rouge), est celle aussi de A.

▼proposition

Supposons le cas de l'imparité, par exemple 3V et 3R dans le groupe B. Les autres cas se traitent de la même manière.
Donc chez A, on a 3V+3R ou V+5R ou 5V+R. On convient de dire Vrai si le nombre de vert > à rouge, sinon Faux et "rien " si égalité. B déduit tout de suite le bon nombre de chapeaux.

Supposons maintenant la parité, soit par exemple 4V+2R dans le groupe B. On reprend les mêmes conventions que ci dessus, mais on a besoin des 3 étapes. Si A a 6V par exemple, le code est Vrai+chapeau+"rien" permet à B de trouver. Si on a 4V+2R pex, le code sera : Vrai+chapeau+vrai. On traite de la même manière les cas symétriques.
A priori, ça a l'air de fonctionner.

Bis bald !

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : Encore des prisonniers

Pour ma part, je relève que le groupe A a trois codes disponibles : "vrai", "faux" et ne "rien" dire.

Je ne suis pas d'accord, il dit forcément "vrai" ou "faux", il ne peut pas ne rien dire.

Fred.

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Encore des prisonniers

OK, pas clair sur ce point, mais j'essaie à nouveau sans aucun problème !

Le groupe A a deux codes disponibles : "vrai", "faux". On relève que la parité du nombre des chapeaux de B (nombre pair ou impair de vert par exemple, et donc de rouge), est celle aussi de A.

▼proposition bis

1 - Supposons le cas de l'imparité, par exemple 3V et 3R dans le groupe B. Les autres cas se traitent de la même manière.

Donc chez A, on a 3V+3R ou V+5R ou 5V+R. On convient de dire Vrai si le nombre de vert = nombre de rouge, sinon Faux.

Un chapeau est transféré de A vers B.

Convention de seconde étape : on dit vrai si la couleur du chapeau transféré est la couleur dominante, sinon faux. Par exemple, si on dit vrai puis faux => B déduit que A avait 3V+3R, puis qu'il a 2V+3R si le chapeau vert est transmis. Donc B trouve. Dans le cas de Faux puis Vrai, B déduit, si c'est le chapeau rouge qui est transmis, que A a 4R+V.

2 - Supposons maintenant la parité, soit par exemple 4V+2R dans le groupe B. A peut avoir 4V+2R ou 2V+4R ou 6V ou 6R.

On convient de dire vrai si A est d'une seule couleur (6V ou 6R), sinon faux => 2V+4R ou 4V+2R.

Un chapeau est transmis. Si A a dit vrai, B trouve alors les bonnes couleurs.

Sinon, on reprend les conventions de seconde étape de ci dessus, et B trouve.

OK Fred ?

Bis bald !

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : Encore des prisonniers

Parfait Freddy!