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#1 16-11-2011 11:35:00
- peuks
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Règle de calcul des sommes
Je préfère ouvrir un autre topic que de polluer les autres ...
J'ai
[tex]\sum_{k=0}^{n} (3k + 1)
[/tex]
Très proche donc de[tex] \sum_{k=0}^{n} (k) = \frac{n(n+1)}{2}[/tex]
Je bloque tout de même ...
Dernière modification par peuks (17-11-2011 08:22:01)
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#2 16-11-2011 11:46:09
- yoshi
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Re : Règle de calcul des sommes
Bonjour,
Moi, je vois ça comme ça (par exemple) :
[tex]3k + 1 = k + 2k+1[/tex]
D'où
[tex]\sum_{k=0}^{n} (3k + 1)=\sum_{k=0}^{n} k+(2k + 1)=\sum_{k=0}^{n} k + \sum_{k=0}^{n} 2k+1[/tex]
Et les deux sommes obtenues ont des résultats bien connus.
On peut imaginer d'autres décompositions aussi...
@+
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#3 16-11-2011 11:52:57
- peuks
- Membre
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- Messages : 19
Re : Règle de calcul des sommes
Le résultat du livre est[tex] 3n^2+5n+2[/tex]
Si j'essaye de developper cela donne
[tex]\frac{n(n+1)}{2} + \frac{2n(n+1)} {2} [/tex] et il me manque la somme de +1 que je ne sais pas comment inclure
En faisant sans le 1 pour l'instant cela me donne
[tex]\frac {3n(n+1)} {2} = 3n^2+3n[/tex]
Dernière modification par peuks (16-11-2011 11:55:41)
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#4 16-11-2011 12:19:31
- freddy
- Membre chevronné
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- Messages : 7 457
Re : Règle de calcul des sommes
Salut,
[tex]\sum_{k=0}^{n} (3k + 1)=3\times \sum_{k=0}^n k+(n+1) =\frac32\times n(n+1) + (n+1)
[/tex]
Je te laisse finir, la solution du livre (celle que tu donnes) semble oublier le coefficient 1/2 !
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#7 16-11-2011 12:29:37
- freddy
- Membre chevronné
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- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : Règle de calcul des sommes
Si j'avais eu + 2 le résultat serait de 3/2 * n(n+2) + (n+2) ?
En tout cas merci ça va déjà mieux , c'était pas grand chose :)
Re,
si tu avais eu +2, tu aurais 3/2*n(n+1) +2*(n+1) , puisqu'on somme de 0 à n, soit (n+1) fois la constante +2 !
Dernière modification par freddy (16-11-2011 12:30:22)
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#8 16-11-2011 12:38:18
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 385
Re : Règle de calcul des sommes
Re,
Le résultat dont tu dis qu'il t'est donné par ton livre est faux.
Pour n = 5 :
[tex]3\times 5^2+5\times 5 +2 = 102[/tex]
or
[tex]\sum_0^5 3k+1 = 1+4+7+10+13+16 = 51[/tex]
C'est plutôt :
[tex]S=\frac{3n^2+5n+2}{2}[/tex]
Je te propose une autre décomposition :
[tex]\sum_0^n 3k+1=\sum_0^ 3k +\sum_0^n 1 = 3\sum_0^n k+ \sum_0^n 1[/tex]
la 1ere somme vaut 3 fois la somme des n premiers nombres entiers et la 2e, n+1
@+
[EDIT]Grillé par freddy...
Salut compère...
Sinon, je reviens à ma 1ere suggestion qui marche aussi (normal !) :
[tex]\sum_{k=0}^n 2k+1[/tex] c'est la somme des n+1 premiers nombres impairs --> (n+1)2
[tex]\sum_{k=0}^n k=\sum_{k=1}^n k[/tex] c'est la somme des n premiers nombres entiers :
[tex]S = (n+1)^2+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{2n^2+4n+2}{2}+\frac{n^2+n}{2}=\frac{3n^2+5n+2}{2}[/tex]
Dernière modification par yoshi (16-11-2011 12:39:16)
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#9 16-11-2011 18:47:20
Re : Règle de calcul des sommes
Salut,
Ce sujet est déjà, sous diverses formes, revenu des centaines, voire des milliers de fois. Et comme le serpent se mord la queue, chaque fois que le sujet revient, une bonne âme donne un lien vers le sujet précédent où ce sujet a déjà été abordé. En l’occurrence, ici : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?pid=33170
Seulement, le problème, c'est que comme pour les sommes infinies, qui ont des termes jusqu'au bout, ici, il y a des sujets jusqu'au bout.....
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