LCoefficients binomiaux.

alain01 · 13-07-2011 01:05:21

Bonjour à tous.

Je vous soumets ma résolution d'un exercice.Ma démonstration m'a paru laborieuse (comportant surement quelques fautes)et surtout je n'ai pas pu solutionner la dernière question.
1) Montrez que :[tex]\binom{n}{p}=\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}[/tex].
C'est la formule classique facile à démontrer.
En déduire :[tex]\binom{p}{p}+\binom{p+1}{p}+\binom{p+2}{p}+...+\binom{n}{p}=\binom{n+1}{p+1}[/tex].
Si [tex]\binom{n}{p}=\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}\longrightarrow\binom{n+1}{p+1}=\binom{n}{p}+\binom{n}{p+1}\longrightarrow\binom{n}{p}=\binom{n+1}{p+1}-\binom{n}{p+1}[/tex].
En posant
n=p+k+1 et donc k variant de 0 à n-p-1 ,j'ai développé les deux membres :
[tex]\binom{p+1}{p}+\binom{p+2}{p}+...+\binom{n}{p}=\binom{p+2}{p+1}+..+\binom{n+1}{p+1}-\binom{p+1}{p+1}-.......-\binom{n}{p+1}[/tex].
Des termes s'annulant,j'ai transposé [tex]\binom{p+1}{p+1}[/tex] qui est égal à 1 et j'ai obtenu ce qui était demandé.
2)Calculez S1,S2,S3.
S1=1+2+3+..+n.
J'ai posé p=1 et [tex]\binom{1}{1}+\binom{2}{1}+..+\binom{n}{1}=\binom{n+1}{1}[/tex] qui est bien la formule connue n(n+1)/2.
S2=1x2+2x3+3x4...+(n-1)n.
Là j'ai d'abord multiplié les deux membres de l'égalité par 2 et posé p=2:
[tex]2\binom{2}{2}+2\binom{3}{2}+........+2\binom{n}{2}=2\binom{n+1}{2}[/tex].
C'est S3=1²+2²+....+n² qui me pose problème.
Je n'y arrive pas.

2)calculez S1=1+2+...+n.En posant p=1
[tex]\binom{1}{1}+....+\binom{n}{1}=\binom{n+1}{1}[/tex].

En prévisualisant mon message j'ai constaté la disparition suivante.Veuillez m'excuser,c'est la 1re fois que j'utilise le Latex et suis nouveau parmi vous.
"j'ai transpose [tex]\binom{p+1}{p+1}[/tex] et j'ai obtenu ce qui etait demande.

2)calculez S1=1+2+3+..+n.C'était facile en posant p=1.
Voila,j'en ai terminé et je vous remercie pour tout le temps que vous me consacrerez.

yoshi · 13-07-2011 08:17:18

Salut,

Et bienvenue sur BibM@th...

J'ai un peu aéré ton texte : il était trop "touffu"...
Le disparu a été retrouvé... Tu as eu beaucoup de chance, c'était un oubli de fermeture d'une balise tex et ça en général, ça ne pardonne pas : le message devient inaccessible...

Concernant la somme des des carrés des n premiers entiers, tu devrais pouvoir adapter la méthode qui consiste à passer.... par les cubes.
[tex]\begin{cases}\;2^3 = (1 + 1)^3 = 1^3 + 3 \times 1^2 \times 1 \quad \quad+ 3 \times 1 \times 1^2 \quad+ 1^3\\
3^3 = (1 + 2)^3 = 1^3 + 3 \times 1^2 \times 2 \quad \quad+ 3 \times 1 \times 2^2 \quad+ 2^3\\
4^3 = (1 + 3)^3 = 1^3 + 3 \times 1^2 \times 3 \quad \quad+ 3 \times 1 \times 3^2 \quad+ 3^3\\
5^3 = (1 + 4)^3 = 1^3 + 3 \times 1^2 \times 4 \quad \quad+ 3 \times 1 \times 4^2 \quad+ 4^3\\
\quad \quad \quad.....................................................................................................\\
n^3 = (1 + n-1)^3 = 1^3 + 3 \times 1^2 \times (n-1) + 3 \times 1 \times (n-1)^2 + (n-1)^3\\
\quad \quad \;(1+n)^3 = 1^3 + 3 \times 1^2 \times n \quad \quad + 3 \times 1 \times n^2\quad \quad + n^3.\end{cases}[/tex]

Et puisque 1³ = 1² = 1, on va récrire tout cela :

[tex]\begin{cases}\;2^3 = (1 + 1)^3 = 1 + 3 \times 1 \quad \quad + 3 \times 1^2 \quad + 1^3\\
3^3 = (1 + 2)^3 = 1 + 3 \times 2 \quad \quad + 3 \times 2^2 \quad + 2^3\\
4^3 = (1 + 3)^3 = 1 + 3 \times 3 \quad \quad + 3 \times 3^2 \quad + 3^3\\
5^3 = (1 + 4)^3 = 1 + 3 \times 4 \quad \quad + 3 \times 4^2 \quad + 4^3\\
\quad \quad \quad.....................................................................................................\\
n^3 = (1 + n-1)^3 = 1 + 3 \times (n-1) + 3 \times (n-1)^2 + (n-1)^3\\
\quad \quad \;(1+n)^3 = 1 + 3 \times n \quad \quad + 3 \times n^2\quad \quad + n^3 \end{cases}[/tex]

La 3e colonne ne contient que des 1. Du nombre 1 au nombre n, il y a n nombres, par conséquent du nombre 2 au nombre n+1, il y en aussi n : somme 1ere colonne résultat = n

La 4e colonne contient 3 x 1 + 3 x 2 + 3 x 3 + 3 x 4 + ....+ 3 x n, c’est à dire 3 x (1 + 2 + 3 + 4 + ... + n)...

La 5e colonne contient elle 3 x 1² + 3 x 2² + 3 x 3² + 3 x 4² + ...., c’est à dire encore après factorisation 3 x (1² + 2² + 3² + 4² + ...) donc 3 fois la somme cherchée.

Quant à la 6e colonne, chacun de ses nombres (sauf le 1er) se retrouve dans la première colonne de la ligne du dessus.
Il faut donc ajouter membre à membre (en faisant abstraction de la 2e colonne qui n'est là que pour faciliter la compréhension et simplifier.

On doit aboutir à
[tex]S=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}[/tex]

Voilà, j'espère que cela a pu t'aider...

@+

thadrien · 13-07-2011 09:34:20

Salut,

Il y a une méthode plus générale pour trouver la somme de P(n) pour n allant de 1 à N avec P un polynôme quelconque.

On cherche un polynôme Q de degré deg(Q) = deg(P) + 1 tel que P(n) = Q(n+1) - Q(n). Pour cela, on développe les membres de l'égalité précédente et on identifie les coefficients. On obtient ensuite un système linéaire qu'il suffit ensuite de résoudre.

Ensuite, la somme de P(n) pour n allant de 1 à N se simplifie en Q(N+1)-Q(1). Le résultat en découle immédiatement.

@yoshi : ta méthode est bonne aussi, mais je le trouve plus dure à retenir. Et puis, elle s'applique moins bien dans le cas plus général de la somme de polynômes.

yoshi · 13-07-2011 09:43:40

Salut,

Bien sûr que ma méthode est bonne et c'est la seule que je connaisse...
thadrien, tu as écrit :

On cherche un polynôme Q de degré deg(Q) = deg(P) + 1 tel que P(n) = Q(n+1) - Q(n). Pour cela, on développe les membres de l'égalité précédente et on identifie les coefficients. On obtient ensuite un système linéaire qu'il suffit ensuite de résoudre.

Je suis au regret de te dire, que ne connaissant pas cette méthode, je pourrais rester des heures à lire et relire cette indication, que je n'en serais pas plus avancé... Pourtant, Yaka...
Si tu nous montrais ça sur cet exemple précis ?

Bon, d'accord, je pousse un peu...
Mais, en l'occurrence, ta méthode s'apparente à de la "cuisine" (même si c'est un peu mon style, quand même) : il faut arriver à trouver Q(n)...

Ici on pourrait peut-être avoir :
[tex]P(n)=3n^2+3n-1,\;Q(n)=n^3-1\; et\; Q(n+1)=n^3+3n^2+3n+1-1=n^3+3n^2+3n[/tex]
[tex]Q(n+1)-Q(n)= 3n^2+3n-1[/tex]
C'est ça l'idée ?

@+

[EDIT]
Mieux ?
[tex]P(n)=n^2\;et\;Q(n)=\frac 1 3\left(n^3-\frac 3 2 n^2+\frac 1 2n\right)[/tex]
Et après ?
On trouve comment [tex]S=\sum_{i=1}^n i^2[/tex] ?
J'ai trouvé Q(n), mais de connaître l'autre solution m' a grandement aidé...

Dernière modification par yoshi (13-07-2011 11:16:58)

freddy · 13-07-2011 11:20:32

yoshi a écrit :

Salut
On doit aboutir à
[tex]S=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]
Voilà, j'espère que cela a pu t'aider...
@+

Salut,

j'ai fait une petite modif.

yoshi · 13-07-2011 11:33:35

Re,

Oui, je suis allé trop vite j'ai pompé ma formule déjà donnée sur les "empilements de cube" sans faire attention à ce que n'était pas tout là fait le même propos...
Merci.

@+

thadrien · 13-07-2011 12:13:41

Salut,

Je vais la poster dans un sujet à part, car c'est vraiment un classique, dès que j'aurai le temps.

yoshi · 13-07-2011 12:24:46

Re,

Pour être tout à fait honnête et complet, il faut reconnaître que je découvre (!) aujourd'hui que thadrien avait déjà exposé cette méthode ici : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=3607 post #6, il y a plus d'un an.

Je vais maintenant chercher à savoir à quel niveau s'apprend cette méthode : je doute que ce soit en TS, probablement au delà...
Maintenant, je peux me tromper !

@+

alain01 · 13-07-2011 23:28:34

Bonsoir Yoshi,Thadrien et Freddy.Je vous adresse mes plus vifs remerciements pour vos réponses plus que claires.C'est vrai que mes réponses étaient "touffues" et la question l'était aussi.J'aurai du la poser ainsi:
en utilisant [tex]\binom{p}{p}+\binom{p+1}{p}+....+\binom{n}{p}=\binom{n+1}{p+1}[/tex] calculez
1²+2²+3²+....+n².D'ailleurs je l'ai fait pour S1 et S2.
Je connaissais bien les deux méthodes que vous avez aimablement exposé.Encore merci.
PS:vous ne m'avez rien dit sur la validité ou non de mes réponses.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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LCoefficients binomiaux.

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#4 13-07-2011 09:43:40

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#9 13-07-2011 23:28:34

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