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#1 Re : Entraide (supérieur) » Intégration numérique » 13-06-2017 16:38:12
On dirai que mon prof utilise la méthode de la quadrature de Gauss pour résoudre ce type d'exo,donc j'ai tenté de le refaire.
Merci d'avance
Voici l'exo(complet).
Soit la fonction [tex]f(x)= \frac{1}{1+x^2}[/tex]
1)Calculer [tex]I=\int_{-1} ^ 1 f (x) dx .[/tex] (indication (tan(x))'=1+tan²(x))
2)Construire la formule suivante:
[tex]I=\int_{-1}^ 1 f (x) dx \approx J_1(x) =a.f(-1/2)+b.f(0)+c.f(1/2).[/tex]
Relation d'ordre 2 de précision.
Montrer que sa précision va jusqu'à l'ordre 3.
3)Construire la formule suivante :
[tex]I=\int_{-1}^ 1 f (x) dx \approx J_2(x) =d.f(-1)+e.f(0)+f.f(1).[/tex]
Relation d'ordre 3 de précision.
4)Construire la formule:
[tex]I=\int_{-1}^ 1 f (x) dx \approx J_3(x) =g.f(\frac{-3}{5})+h.f(\frac{-1}{5})+i.f(\frac{1}{5}).+j.f(\frac{3}{5})[/tex]
Relation d'ordre 3 de précision.
5)Utiliser J1,J2,J3 pour calculer 3 valeurs approchées de I.
6)Sans calculer aucune formules d'erreurs,quel doit être la valeur la plus précises?
J'ai essayé de répondre grâce à un exo similaire vu en cours,voici donc mes réponses:
1)Pour cette question,l'intégrale c'est [tex]tan^{-1} (x)[/tex] donc[tex]I=tan^{-1} (1)-tan^{-1} (-1)=\frac{\pi}{2}[/tex] donc 90 degrés.
Après pour la question 2) j'ai dis que comme la précision va à l'ordre 3,alors on peut dire que les polynôme d'ordre 3 on pour forme canonique {1,x,x^2,x^3}.
Puis on pose au début f(x)=1 ce qui implique que [tex]\int_{-1}^ 1 dx[/tex]=2 d'ou [tex]a.f(-1/2).1+b.f(0).1+c.f(1/2).1=2.[/tex].
se traduit par
[tex]a(\frac{1}{1+\frac{1}{4}})+b(1)+c(\frac{1}{1+\frac{1}{4}})=2[/tex]
c'est à dire
[tex]\frac{4}{5}a+b+\frac{4}{5}c=2[/tex]
Ensuite on dois faire pareil avec f(x)=x ,f(x)=x²,et f(x)=x^3 normalement.
Mais pour le 3) on obtient donc:
On a f(x)=x maintenant donc
[tex]I=\int_{-1}^ 1 f (x) dx \approx J_2(x) =d.f(-1)+e.f(0)+f.f(1)=d.(1/2)+e.1+f.(1/2).
=\int_ f (x) dx=\int_ x dx=1/2-1/2=0=d.f(-1)+e.f(0)+f.f(1)=d.(1/2)+e.1+f.(1/2).
[/tex]
Puis pour le 4) On obtient avec f(x)=x²:
[tex]I=\int_{-1}^ 1 f (x) dx \approx J_3(x) =g.f(\frac{-3}{5})+h.f(\frac{-1}{5})+i.f(\frac{1}{5}).+j.f(\frac{3}{5})=\int_ x^2 dx=2/3=(g+j).(25/34)+(h+i).(25/26).
[/tex]
Après pour trouver les coefficient a,b,c et j,g,h,i c'est une autre histoire.
On voit juste que d,e,f sont forcément nuls.
5) je ne sais pas,ni pour le 6) .
#2 Re : Entraide (supérieur) » Intégration numérique » 06-06-2017 16:30:03
Bonjour les gars et désolé pour ma réponse tardive.
En fait on avait fait un exo qui fait penser à ce que Fred m'avais dit le voici,c'est l'exo 4 ci-dessous,et le corrigé est là aussi.
#3 Re : Entraide (supérieur) » Intégration numérique » 02-06-2017 18:44:19
Bonjour,
La méthode d'intégration numérique "Quadrature de Gauss" consiste à approximer l'intégrale d'une fonction par son évaluation en un nombre fini de points dans intervalle d'intégration :$\displaystyle \int_a^b f(x)dx \approx \sum_{i=1}^n \omega_i f(x_i)$.
Il existe plusieurs variantes (Kronrod, Hermite, ...).
J'ai l'impression que c'est de ça qu'il s'agit.
Regarder ici pour plus de détail sur la méthode.Cela dit, j'ai quand même l'impression que le problème est mal posé.
Vu qu'on connait $I$, je peux poser $a=c=0$ et $b=I$ et j'ai une égalité $I=af(-\dfrac{1}{2})+bf(0)+cf(\dfrac{1}{2})$
Il est probablement mal posé,et je ne comprends il dit "construire",enfin bref,ce que dis Fred semble ressembler a un exo qu'on a vu en cours.
Merci pour votre aide
#4 Re : Entraide (supérieur) » Intégration numérique » 02-06-2017 18:36:48
Bonjour
Est ce qu'on ne demande les coefficients tels que la relation soit vraie en remplaçant f par tout polynôme de degré inférieur ou égal à 2 ce qui justifierait l'apparition de l'expression 'ordre 2'. Dans ce cas il suffit d'écrire l'égalité avec f=1, f=x et f=x^2
Fred
Ce que tu dis me dis quelque chose,j'ai vu ça dans un exo en cours,je te tiens au courant au plus tard demain,merci pour votre aide a vous tous!
#5 Re : Entraide (supérieur) » Intégration numérique » 02-06-2017 18:13:41
Petit commentaire : je ne vois pas pourquoi $J_1$ dépendrait d'une quelconque variable $x$, là où tu intégres une fonction à une variable sur le segment $[-1,1]$.
Ensuite la première chose qui me vient à l'esprit, avec une fonction infiniment dérivable surtout quand on demande l'expression de la fonction en certains point, c'est la série de Taylor : as-tu essayé ?
Salut,euh non j'ai pas essayé avec Taylor,mais ce que Fred a dis(voir son message) ressemble à ce qu'on a fait dans un exo,je vais trouvé l'exo et je vous tiens tous au courant ok?
Personne ne comprends grand chose avec ce prof...
#6 Entraide (supérieur) » Intégration numérique » 01-06-2017 19:23:21
- Joan94
- Réponses : 8
Bonsoir à vous tous,j'ai répondu à la première question de l'exo ci-dessous mais j'aurai voulu qu'on m'explique comment faire pour la question 2 si possible.
Voici cet exo:
Soit la fonction [tex] f(x)= \frac{1}{1+x^2}[/tex]
1)Calculer [tex] I=\int_{-1} ^ 1 f (x) dx .[/tex]
2)Construire la formule suivante:
[tex] I=\int_{-1}^ 1 f (x) dx \approx J_1(x) =a.f(-1/2)+b.f(0)+c.f(1/2).
[/tex]
Relation d'ordre 2 de précision.
Montrer que sa précision va jusqu'à l'ordre 3.
Il y a d'autres questions mais c'est surtout la 2 qui m'intéresse pour l'instant.
#7 Re : Entraide (supérieur) » Suite récurrente d'ordre 2 » 22-04-2015 17:40:03
Effectivement,je ne peut pas le savoir.
Ok,je l'utiliserai,merci.
#8 Re : Entraide (supérieur) » Suite récurrente d'ordre 2 » 21-04-2015 22:23:19
Ah ok,c'est plus complexe que prévu!
Et bien au risque de dire une bétise,je dirai que l’hypothèse de récurrence dans le cas 1,serai que [tex]U_{n-1}=n-1[/tex].
Et qu'on doit vérifié que c'est vrai au rang 1,c'est à dire que [tex]U_{1-1}=1-1[/tex],[tex]U_0[/tex] étant égale à [tex]0[/tex],c'est vrai.
Puis on suppose que au rang n-1(pour un certain entier (n-1)),on a [tex]U_{n-1}=n-1[/tex].
On doit ensuite démontrer que c'est vrai au rang n+1 c'est à dire [tex]U_n=n[/tex].
Ce que je tenterai de faire en disant que:
[tex]U_{n-1}=n-1=>U_{n-1+1}=n-1+1=>U_n=n[/tex].
Après,si ce que j'ai dit est vrai,j'ai envie de dire on sait que (U_n=n),mais je ne dirai pas ça,je dirai plutôt:
On vérifie que [tex]U_0=0[/tex] (c'est la cas),puis on suppose que [tex]U_n=n[/tex].
On montrera que [tex]U_{n+1}=n+1[/tex].
C'est ce que je te propose comme modification Fred.
Merci pour ton aide,et dsl de répondre tard.
#9 Entraide (supérieur) » Suite récurrente d'ordre 2 » 21-04-2015 18:24:37
- Joan94
- Réponses : 4
Bonjour,
J'ai réfléchis sur cet exercice mais je ne sais pas si mon raisonnement est bon:
Soit la suite [tex]U[/tex] définie par :[tex]U_0=0[/tex];[tex]U_1=1[/tex] et [tex]U_{n+2}=2U_{n+1}-U_n \forall n \in N[/tex].
Calculer [tex]U_n \forall n \in N[/tex].
Toutefois,j'ai pu dire que [tex]U_n[/tex]=[tex]-U_{n+2}+2U_{n+1}[/tex] et que [tex]U_n=n[/tex] car on vois que [tex]U_0=0[/tex],[tex]U_1=1...[/tex].
Mais faut le démontrer par récurrence.
Donc,on vérifie que[tex] U_0=0[/tex](c'est le cas),on suppose ensuite que[tex] U_n=n \forall n \in N
[/tex].
Et on démontra par récurrence que [tex]U_{n+1}=n+1[/tex].
[tex]U_n=n=> U_{n+1}=n+1[/tex] donc la propriété est vraie au rang n+1 et au rang n.
Mais il y a-t-il d'autre méthodes?
Toute aide sera la bienvenue.
#10 Re : Entraide (supérieur) » Démonstration,fonction. » 07-04-2015 13:32:41
Bonsoir,
Effectivement, on peut choisir k=1/2, mais cela n'est pas très bien rédigé. Ta suite d'implications va dans le mauvais sens, car tu pars du résultat que tu veux prouver. Tu devrais écrire plutôt
[tex]x\geq 0\implies 2\sqrt{1+x}\geq 2\implies \frac {1}{2\sqrt{1+x}}\leq \frac 12\implies |f'(x)|\leq \frac 12[/tex]Fred.
Pas faux,d’ailleurs il faut que j'apprenne à rédiger mieux,merci Fred :).
#11 Entraide (supérieur) » Démonstration,fonction. » 06-04-2015 20:18:09
- Joan94
- Réponses : 2
Bonsoir,
J'ai réfléchis sur un exo ou l'on me dit qu'on considère une fonction [tex]f(x)= \sqrt{1+x}[/tex] et la suite U définie par :
[tex]U_0 =0[/tex] et[tex] U_{n+1}=f(U_n)[/tex] tout n [tex]\in[/tex] N.
Et l'on me demande de montrer qu'il existe k,0<k<1 tel que :[tex] \forall[/tex] x [tex]\in[/tex] [tex][0;+ \infty [ [/tex] ,|f'(x)|[tex]\le[/tex]k.
Ensuite,en sachant que f '(x)=1/(2racine(1+x)) ,j'ai pu dire que |f'(x)| [tex]\le[/tex] k => [tex]|\frac{1}{2 \sqrt{1+x}}|[/tex] [tex]\le[/tex] k=> k=1/2 .
Car la plus petite valeur qui puisse être prise par x est 0 donc k ne dépasse pas 1/2.
Mais ce que je dis est-il vrai?
#12 Re : Entraide (supérieur) » Le plus petit majorant. » 20-03-2015 17:37:41
Ah oui c'est vrai,je vois ce que tu veux dire,effectivement,ça n'a pas trop de sens...
Merci de m'avoir accorder du temps Fred :)
#13 Entraide (supérieur) » Le plus petit majorant. » 19-03-2015 18:33:06
- Joan94
- Réponses : 2
Bonjour,j'ai fais un cet exercice,dans lequel on me dit:
Soit A et B deux parties non vides de R tel que [tex]A \subset B[/tex].
Montrer que si B est majorée,alors A est majorée et [tex]sup(A) \leq sup(B)[/tex]
Cependant je ne suis pas sûr de mes réponse et je me demande si sup(A) existe forcément.
Mais toutefois,voici ce que j'ai pu dire:
On sait que toute partie qui admet un majorant est majoré,réciproquement une partie majorée admet un majorant.
Par conséquent,si B est majoré ( et admet donc un majorant que j’appelle b),et que A est inclus
dans B,alors A est majoré par le plus grand majorant de B,donc [tex]A [/tex][tex]\leq[/tex][tex] b[/tex] et [tex]a \leq b[/tex] "a étant le
plus grand majorant de A".
Et plus petit majorant de A(si il existe,on l'appelle a')est inférieur ou égale au plus petit majorant de B (b') donc:
[tex]a' \leq b'[/tex] <=> [tex]sup(A) \leq sup(B)[/tex].
#14 Entraide (supérieur) » Espace vectoriel engendré,question. » 05-03-2015 18:33:32
- Joan94
- Réponses : 1
Bonjour,j'ai fais cet exo:
Dans[tex] R^3[/tex],on considère le sous-ensemble suivant:
[tex]F={(x,y,z) ∈ R^3/x+2y-z=0}[/tex].
Montrer que F est un plan vectoriel de [tex]R^3[/tex] dont on donnera une base.
Et en écrivant que x=z-2y j'ai pu dire que [tex]F=(-2y+z,y,z)[/tex]=[tex]Vect{(-2,1,0)(1,0,1)}[/tex],cependant,mon prof à écrit "z=x+2y,donc il trouve [tex]F=Vect{(1,0,1)(0,1,2)}[/tex].
Mais ma réponse est-elle fausse?
#15 Re : Entraide (supérieur) » Montrer qu'une famille est libre,génératrice ou... » 22-02-2015 22:17:16
Ah oui c'est vrai normalement elle n'est pas génératrice,suivant cette logique.
Euh oui je devrais revoir le cours,un truc m'a échappé,mais je voulais testé vos connaissance ^^,bon ok je rigole.
Mais merci :).
#16 Entraide (supérieur) » Montrer qu'une famille est libre,génératrice ou... » 22-02-2015 15:55:33
- Joan94
- Réponses : 2
Bonjour,
J'ai essayé de faire cet exercice ou l'on me demande de dire dans chaque cas si les vecteurs constituent une partie libre,génératrice,une base de [tex]R^3[/tex].
Et voici ces vecteurs:
1)(−1, 2, 0) ; (1, 0, 0) et 2)(1, 0, 1) ; (0, 2, 2) ; (3, 7, 1) .
Mais je voudrais juste qu'on m'aide à montrer que ces familles sont génératrices ou qu'on me dise si ma démarche est bonne.
J'ai déjà montrer qu'elles sont libres.
Et pour commencer,voici ce que j'ai pu dire dans le cas 1):
Pour montrer que la famille est génératrice,il faut montrer qu'il existe un vecteur V tel que [tex]V=cv_1+dv_2[/tex].
V ayant pour coordonnées V=(x,y,z),alors
[tex](x,y,z)=(-c,2c,0)+(d,0,0) =>(x,y,z)=(-c+d,2c,0)=>[/tex]
On a donc ce système :
[tex]\left\{\begin{array}{rcl}x&=&-c+d.L1\\ y&=&2c.L2\\ z&=&0.L3\end{array}\right.[/tex]
Et si [tex]y=2c,[/tex] alors [tex]c=y/2.[/tex]
Puis,par conséquent,[tex]x=-c+d=>d=x+c=x+y/2 et z=0.[/tex]
Et quel que soit le vecteur,(x,y,z),on peut exprimer ce vecteur sous la forme [tex](y/2)v1+(x+(y/2))v2[/tex] ,donc la famille est génératrice.
Ensuite dans le cas 2),pour montrer qu'elle est génératrice la famille,il faut faire la même chose.
Il faut montrer que [tex]V=av_1+bv_2+cv_3[/tex]
Donc [tex](x,y,z)=(a,0,a)+(0,2b,2b)+(3c,7c,1c)=(a+3c,2b+7c,a+2b+c)[/tex] donc [tex]x=a+3c. L3[/tex]; [tex]y=2b+7c.L2[/tex] ;[tex]z=a+2b+c.L1[/tex]
Ensuite,j'ai tenter de résoudre ce système avec le pivot de Gauss,ce qui donne:
:
[tex] L_2\leftarrow L_2-L_1[/tex] donne [tex]-a+6c=y-z[/tex]
On a alors le système [tex]\left\{\begin{array}{rcl}a+c+2b&=&z\\-a+6c&=&y-z\\a+3c&=&x\end{array}\right.[/tex]
Puis[tex] L_3\leftarrow L_3+L_2[/tex] donne [tex]c=\frac{x+y-z}{9}[/tex]
Ensuite [tex]L2-2L3[/tex] donne:[tex]-a+6c-2a-6c=y-z-2x=>-3a=y-z-2x=>a=(y-z+2x)/3.[/tex]
Et on en déduit b car [tex]a+c+2b=z[/tex]. (Bon ok c'est plus trop du pivot de Gauss la...)
Mais même si j'ai montrer que ces deux familles sont génératrice,comment montrer que ce sont des bases ?.
#17 Re : Entraide (collège-lycée) » Suite géométrique et arithmétique » 19-02-2015 17:18:59
Bonsoir,
question 2 : on peut estimer que la limite doit être 2000
question 3 : [tex]V_{n+1}= U_{n+1}-2000[/tex] et [tex]U_{n+1}=0,5U_n+1000[/tex] donc :
[tex]V_{n+1}=(0,5U_n+1000)-2000=(0,5(V_n+2000)+1000)-2000[/tex] donc :
[tex]V_{n+1}=0,5V_n[/tex] Voila la progression géométrique
Merci totomm :)
#18 Re : Entraide (collège-lycée) » Suite géométrique et arithmétique » 19-02-2015 17:17:50
Salut,
on va essayer de faire les choses dans l'ordre.
1)[tex] u_n[/tex] est une approximation du nombre d'abonnés à la date[tex] n[/tex] si on suppose que la formule de récurrence qui donne [tex]u_{n+1}[/tex] en fonction de [tex]u_n[/tex] reste stable dans le temps.2) Graphiquement, la suite est décroissante et convergente vers la valeur limite égale à 2.000 abonnés.
3) On pose [tex]v_n=u_n-2.000[/tex]. On a [tex]v_n = \frac12u_{n-1}+1.000-2.000 = \frac12u_{n-1}-1.000 =\frac12(u_{n-1}-2.000)=\frac12v_{n-1}[/tex]
La suite [tex](v_n)[/tex] est donc une suite géométrique, de premier terme [tex]v_0=2.000[/tex] et de raison [tex]q=\frac12[/tex]
On déduit que [tex]v_1=\frac12v_0[/tex], [tex]v_2=\frac12v_1=\left(\frac12\right)^2v_0[/tex], ..., [tex]v_n=\left(\frac12\right)^nv_0[/tex]
Par suite, en revenant à la définition de la suite [tex](v_n)[/tex] , on a[tex] v_n=\left(\frac12\right)^n\times 2.000 = u_n-2.000 \Leftrightarrow u_n= 2.000+2.000\left(\frac12\right)^n[/tex]
4-a) [tex]u_{n+1}-u_n = 2.000\times \left(\frac12\right)^n\times (0,5-1)=-1.000\times \left(\frac12\right)^n[/tex].
4-b) On en déduit que la suite est décroissante et que la différence entre deux termes consécutifs tend progressivement vers 0 au fur et à mesure que n croît. En clair, le journal perd tout le temps des abonnés, mais chaque année de moins en moins et à partir d'un moment, il en perd autant qu'il en conquiert, il aura donc atteint son régime d'équilibre.5) Puisque[tex] \lim _{n \to + \infty} \left(\frac12\right)^n =0[/tex] car [tex]\frac12 < 1[/tex], on déduit que la suite [tex]u_n[/tex] converge vers 2.000.
C'est le nombre permanent d'abonnés.C'est à peu prés la démarche requise par ton manuel, et c'est comme cela qu'il faut répondre aux questions pour établir rigoureusement les résultats pressentis.
Je n'ai pas regardé ce que tu as fait, je te laisse faire les rapprochement utiles.A te lire !
Merci beaucoup pour ce corrigé très détaillé freddy,c'est vraiment sympa :).
Mais c'est pas grave si t'as pas lus,tes réponse sont plus clairs ^^.
Tu réponds souvent,c'est sympa :).
#19 Entraide (collège-lycée) » Suite géométrique et arithmétique » 18-02-2015 20:04:30
- Joan94
- Réponses : 7
Bonjour,
j'ai essayer de faire cet exercice(voir photo),mais je ne suis pas sûr d'avoir tout compris,et c'est d'ailleurs pour cela que je vous montrerai ce que j'ai fais.
Mais avant ça je voulais dire que la question 3) c'est :
Pour tout entier n,on pose:[tex] V_n=U_n-2000[/tex].
Démontrer que la suite Vn est géométrique de raison 0,5 et préciser la valeur de [tex]V_0[/tex],préciser la valeur de [tex]V_0[/tex] et en déduire l'expression de Vn en fonction de n.
Enfin,justifiez que pour tout n,[tex]U_n=2000+2000*0,5^n[/tex].
Pour commencer je dirai que la suite semble décroissante(en répondant à la question 2),mais je ne m'avancerai pas sur sa limite...
Ensuite,pour le 3)Je dirai qu'on sais que une suite géométrique peut s'écrire de la forme [tex]V_n=v_0*q^n[/tex] ,et on sait déja que [tex]V_0=U_0-2000=4000-2000=2000.[/tex]
Mais il nous manque le q que l'on peut trouver grâce à la formule "[tex]V_n=V_p*q^{(n-p)}[/tex]",et nous avons [tex]V_0[/tex],mais nous manque [tex]V_1[/tex] pour trouver q.
Cependant on peut trouver [tex]V_1[/tex] grâce à [tex]U_1[/tex],en effet[tex],V_1=U_1-2000=3000-2000=1000[/tex].
Et on en déduit donc que [tex]V_1=V_0*q^1=>q= \frac{V_1}{V_0}[/tex]=1000/2000=1/2.
On en déduit ensuite que [tex]V_n=2000*(0.5)^n.[/tex]
Après,on sait que [tex]V_n=U_n-2000,[/tex]donc [tex]U_n=2000+V_n=2000+2000*(0.5)^n[/tex].
Ensuite,pour la question 4)j'ai essayer d'exprimer [tex]U_n[/tex] en fonction de n, en disant que [tex]U_n[/tex] est arithmétique et donc que [tex]U_n=U_0+nr=4000+nr.
[/tex]
De plus, nous avons [tex]U_0[/tex],donc nous pouvons aussi trouver [tex]U_1[/tex] car [tex]U_{n+1}=U_n+r[/tex] et donc trouver r grâce à la formule : [tex]U_n=U_p+(n-p)*r[/tex].
Et connaissant [tex]U_1[/tex] (qui est sur le graphique),j'en ai déduit que r=-1000,sachant que [tex]U_p=U_0[/tex] et[tex] U_n=U_1.
[/tex]
Enfin,j'en ai conclut que [tex]U_n[/tex]=4000-1000n,donc je peux enfin calculer [tex]U_{n+1}-U_n=0.5U_n+1000-4000-1000n=500n-1000.[/tex].
Mais ça ressemble pas à ce qu'on doit trouv erdans la question 4)....
Donc j'ai plûtot essayer d'exprimer [tex]U_{n+1}[/tex] en fonction de [tex]U_n[/tex] et j'ai dit que [tex]U_{n+1}-U_n=0.5U_n+1000-U_n=0,5*(2000+2000*(0.5)^n)+1000-2000-2000*(0.5)^n=-1000*0,5^n.[/tex]
4.b)Sachant que 0,5<1,et que -1000 est négatif,cette suite est donc croissante.
Mais pour la question 5,et 1,j'aimerai qu'on m'aide si possible,et savoir si mes réponses sont bonnes ainsi que si j'ai bien exprimer [tex]U_n[/tex] en fonction de n(c'est pas demander mais ça m'intéresse).merci :)
#20 Re : Entraide (supérieur) » Suite,somme de termes » 15-01-2015 14:43:07
Ok daco dac,merci pour la correction.
#21 Re : Entraide (supérieur) » Suite,somme de termes » 14-01-2015 17:05:03
Bonsoir,
Pour le début du a), OK.
Pour la suite, il faut comprendre que [tex]S_n[/tex] correspond à la somme des inverses des n premiers entiers, et que [tex]S_{n+1}[/tex] correspond à la somme des inverses des n+1 premiers entiers. Donc si tu fais la différence, il ne te reste que l'inverse de n+1 : [tex]S_{n+1}-S_n=\frac{1}{n+1}[/tex].Pour le b), c'est un peu la même chose : [tex]T_n = \sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{k}[/tex].
[tex]T_n[/tex] est donc une somme qui contient n+1 termes (et tu remarqueras que le plus petit d'entre eux vaut [tex]\frac{1}{2n}[/tex]), je te laisse continuer...Roro.
Merci Roro,j'ai globalement compris ce que tu as écris même si je ne comprends pas pourquoi Tn n'est pas aussi égal à 1/2n-1/n.
Cependant,il faut que je revois comment on utilise le symbole de la somme,mais bon je pourrais me débrouiller pour le reste .
Cordialement.
#22 Entraide (supérieur) » Suite,somme de termes » 13-01-2015 20:13:06
- Joan94
- Réponses : 4
Bonjour,j'ai tenté de répondre aux questions de cet exercice mais je ne suis pas sûr de l'avoir compris.
Le voici:
On considère la suite S définie par : [tex]S_n[/tex] = [tex]\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}[/tex],et on pose Tn = [tex]S_{2n}− S_n [/tex], pour tout n ∈ N∗
.
(a) Ecrire les premiers termes de la suite S, puis montrer qu’elle est croissante.
(b) Montrer que la suite T est minorée par un réel strictement positif .
(c) En déduire la limite de la suite S .
Et d'après ce que j'ai compris,les premiers termes sont donné par l'expression:
a)[tex]S_n[/tex]=1/1+1/2+1/3+...+1/n.
Ensuite pour montrer que la suite Sn est croissante,il faut montrer que [tex]S_{n+1} >S_n[/tex] donc que [tex]S_{n+1} -S_{n}>0[/tex]
Mais si [tex]S_{n}{+1}[/tex] vaut bien [tex]S_n[/tex] = [tex]\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k}[/tex]=
1/1+1/2+1/3+...+1/(n+1) mais je ne vois pas trop en quoi c'est supérieur à Sn.
(b)Normalement [tex]S_{2n}[/tex]=1/1+1/2+1/3+...+1/2n.
Donc Tn=1/2n-1/n=-1/2n
Mais c'est tout ce que je peux dire.
Après j'aurai besoin d'aide pour le a et le b si possible,le c) euh.. il faut déja que je comprenne le b) donc pas la peine de m'aider pour le c) pour l'instant.
#23 Re : Entraide (supérieur) » Intégration,changement de variable » 12-12-2014 16:40:26
Bonsoir,
juste moins rapide que Fred, mais s'il faut [tex]\int_2^1 {\frac{x}{x^2(1+x^2)^2} dx}[/tex]
alors après changement de variable on doit avoir [tex]\frac{1}{2}\int_4^1 {\frac{1}{t(1+t)^2} dt}[/tex]
et la suite suivant les conseils de Fred…
Ok,merci totomm,tous les chemins mènent à rome ,t'inquiète :)
#24 Re : Entraide (supérieur) » Intégration,changement de variable » 12-12-2014 16:34:12
Salut,
Il faudrait absolument que tu apprennes à écrire en utilisant le Code Latex, éventuellement à l'aide de l'éditeur d'équations du forum, parce que là, ton message est pratiquement illisible.
D'abord, le changement de variables initial.
Si tu poses [tex]t=x^2[/tex], on change les bornes parce que, si x vaut 1, et bien t vaut 1^2=1, et si x vaut 2, t vaut [tex]2^2=4[/tex].
Ensuite, pas besoin d'introduire de racines carrés, parce que [tex]t=x^2[/tex] donne [tex]dt=2xdx[/tex], et donc au numérateur, tu peux directement remplacer [tex]xdx[/tex] par [tex]dt/2[/tex].Ensuite, pour calculer l'intégrale que tu trouves à la fin, on decompose en éléments simples en écrivant que
[tex]\frac{1}{2t(1+t^2)}=\frac{a}{t}+\frac{ct+d}{t^2+1}[/tex]. Il faut trouver a,b,c (par identification), puis intégrer chacun des éléments simples.F.
Ok j'écrirais en latex dorénavant.
Ah oui effectivement les racines carré on compliqué l'expression,bon bin il ne reste qu'a trouvé a,b..
Merci :)
#25 Entraide (supérieur) » Intégration,changement de variable » 11-12-2014 21:44:46
- Joan94
- Réponses : 4
Bonjour;
Je dois calculer une intégrale définie par J= intégrale de 2 à 1 de (x)/(x²(1+x²)²).
Et on me dit "En utilisant le changement de variable t=x²,montrer que :
J= intégrale de 4 à 1 de f(t) ou f(t)=1/(2t(1+t²)).
Mais bon déjà, je ne comprend pas pourquoi on passe de 2 à 1 à 4 à 1,mais j'ai tout de même tenté de calculer ça en disant que:
x²=t=> x= r(t) "racine de t".
Donc J= r(t)/t*1/(1+t)²=1/r(t)*1/(1+t)².
Puis,en posant u'=1/r(t) et v=1/(1+t)² on peut écrire que :
J= 1/(1+t)²*2r(t) -intégrale de 2r(t)-(2*1/(1+t)^3),donc J=1/(1+t)²*2r(t)+4 intégrale de r(t)/(1+t)^3.
Au delà du fait que tout ces calculs soient assez difficile, est-ce que j'ai utilisé la bonne "méthode"?
Parce ce que 3 intégrations par partie c'est long, surtout que la dernière n'est pas simple...