Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Joan94

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Démonstration,fonction.

Bonsoir,
J'ai réfléchis sur un exo ou l'on me dit qu'on considère une fonction [tex]f(x)= \sqrt{1+x}[/tex] et la suite U définie par :
[tex]U_0 =0[/tex] et[tex] U_{n+1}=f(U_n)[/tex]  tout n [tex]\in[/tex] N.

Et l'on me demande de montrer qu'il existe k,0<k<1 tel que :[tex] \forall[/tex] x [tex]\in[/tex] [tex][0;+ \infty [ [/tex] ,|f'(x)|[tex]\le[/tex]k.

Ensuite,en sachant que f '(x)=1/(2racine(1+x)) ,j'ai pu dire que |f'(x)| [tex]\le[/tex] k => [tex]|\frac{1}{2 \sqrt{1+x}}|[/tex] [tex]\le[/tex] k=> k=1/2 .
Car la plus petite valeur qui puisse être prise par x est 0 donc k ne dépasse pas 1/2.

Mais ce que je dis est-il vrai?

Fred

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Re : Démonstration,fonction.

Bonsoir,

Effectivement, on peut choisir k=1/2, mais cela n'est pas très bien rédigé. Ta suite d'implications va dans le mauvais sens, car tu pars du résultat que tu veux prouver. Tu devrais écrire plutôt
[tex]x\geq 0\implies 2\sqrt{1+x}\geq 2\implies \frac {1}{2\sqrt{1+x}}\leq \frac 12\implies |f'(x)|\leq \frac 12[/tex]

Fred.

Joan94

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Re : Démonstration,fonction.

Bonsoir,

Effectivement, on peut choisir k=1/2, mais cela n'est pas très bien rédigé. Ta suite d'implications va dans le mauvais sens, car tu pars du résultat que tu veux prouver. Tu devrais écrire plutôt
[tex]x\geq 0\implies 2\sqrt{1+x}\geq 2\implies \frac {1}{2\sqrt{1+x}}\leq \frac 12\implies |f'(x)|\leq \frac 12[/tex]

Fred.

Pas faux,d’ailleurs il faut que j'apprenne à rédiger mieux,merci Fred :).