Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#1 13-01-2015 20:13:06
- Joan94
- Membre
- Inscription : 22-09-2013
- Messages : 50
Suite,somme de termes
Bonjour,j'ai tenté de répondre aux questions de cet exercice mais je ne suis pas sûr de l'avoir compris.
Le voici:
On considère la suite S définie par : [tex]S_n[/tex] = [tex]\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}[/tex],et on pose Tn = [tex]S_{2n}− S_n [/tex], pour tout n ∈ N∗
.
(a) Ecrire les premiers termes de la suite S, puis montrer qu’elle est croissante.
(b) Montrer que la suite T est minorée par un réel strictement positif .
(c) En déduire la limite de la suite S .
Et d'après ce que j'ai compris,les premiers termes sont donné par l'expression:
a)[tex]S_n[/tex]=1/1+1/2+1/3+...+1/n.
Ensuite pour montrer que la suite Sn est croissante,il faut montrer que [tex]S_{n+1} >S_n[/tex] donc que [tex]S_{n+1} -S_{n}>0[/tex]
Mais si [tex]S_{n}{+1}[/tex] vaut bien [tex]S_n[/tex] = [tex]\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k}[/tex]=
1/1+1/2+1/3+...+1/(n+1) mais je ne vois pas trop en quoi c'est supérieur à Sn.
(b)Normalement [tex]S_{2n}[/tex]=1/1+1/2+1/3+...+1/2n.
Donc Tn=1/2n-1/n=-1/2n
Mais c'est tout ce que je peux dire.
Après j'aurai besoin d'aide pour le a et le b si possible,le c) euh.. il faut déja que je comprenne le b) donc pas la peine de m'aider pour le c) pour l'instant.
Hors ligne
#2 13-01-2015 21:24:18
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 801
Re : Suite,somme de termes
Bonsoir,
Pour le début du a), OK.
Pour la suite, il faut comprendre que [tex]S_n[/tex] correspond à la somme des inverses des n premiers entiers, et que [tex]S_{n+1}[/tex] correspond à la somme des inverses des n+1 premiers entiers. Donc si tu fais la différence, il ne te reste que l'inverse de n+1 : [tex]S_{n+1}-S_n=\frac{1}{n+1}[/tex].
Pour le b), c'est un peu la même chose : [tex]T_n = \sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \sum_{k=n\mathbf{+1}}^{2n} \frac{1}{k}[/tex].
[tex]T_n[/tex] est donc une somme qui contient n termes (et tu remarqueras que le plus petit d'entre eux vaut [tex]\frac{1}{2n}[/tex]), je te laisse continuer...
Roro.
Petite modification (en gras) suite au message de totomm, merci à lui...
Dernière modification par Roro (14-01-2015 21:48:00)
Hors ligne
#3 14-01-2015 17:05:03
- Joan94
- Membre
- Inscription : 22-09-2013
- Messages : 50
Re : Suite,somme de termes
Bonsoir,
Pour le début du a), OK.
Pour la suite, il faut comprendre que [tex]S_n[/tex] correspond à la somme des inverses des n premiers entiers, et que [tex]S_{n+1}[/tex] correspond à la somme des inverses des n+1 premiers entiers. Donc si tu fais la différence, il ne te reste que l'inverse de n+1 : [tex]S_{n+1}-S_n=\frac{1}{n+1}[/tex].Pour le b), c'est un peu la même chose : [tex]T_n = \sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{k}[/tex].
[tex]T_n[/tex] est donc une somme qui contient n+1 termes (et tu remarqueras que le plus petit d'entre eux vaut [tex]\frac{1}{2n}[/tex]), je te laisse continuer...Roro.
Merci Roro,j'ai globalement compris ce que tu as écris même si je ne comprends pas pourquoi Tn n'est pas aussi égal à 1/2n-1/n.
Cependant,il faut que je revois comment on utilise le symbole de la somme,mais bon je pourrais me débrouiller pour le reste .
Cordialement.
Dernière modification par Joan94 (14-01-2015 17:08:29)
Hors ligne
#4 14-01-2015 19:09:39
- totomm
- Membre
- Inscription : 25-08-2011
- Messages : 1 093
Re : Suite,somme de termes
Bonsoir,
Attention, Roro a laissé échapper une petite erreur de frappe. Bien lire :
Pour le b), c'est un peu la même chose : [tex]T_n = \sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}[/tex].
[tex]T_n[/tex] est donc une somme qui contient n termes (et tu remarqueras que le plus petit d'entre eux vaut [tex]\frac{1}{2n}[/tex]),
Hors ligne
Pages : 1