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Joan94

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Montrer qu'une famille est libre,génératrice ou...

Bonjour,
J'ai essayé de faire cet exercice ou l'on me demande de dire dans chaque cas si les vecteurs constituent une partie libre,génératrice,une base de [tex]R^3[/tex].

Et voici ces vecteurs:
1)(−1, 2, 0) ; (1, 0, 0) et 2)(1, 0, 1) ; (0, 2, 2) ; (3, 7, 1) .
Mais je voudrais juste qu'on m'aide à montrer que ces familles sont génératrices ou qu'on me dise si ma démarche est bonne.
J'ai déjà montrer qu'elles sont libres.

Et pour commencer,voici ce que j'ai pu dire dans le cas 1):
Pour montrer que la famille est génératrice,il faut montrer qu'il existe un vecteur V tel que [tex]V=cv_1+dv_2[/tex].

V ayant pour coordonnées V=(x,y,z),alors
[tex](x,y,z)=(-c,2c,0)+(d,0,0) =>(x,y,z)=(-c+d,2c,0)=>[/tex]
On a donc ce système :

[tex]\left\{\begin{array}{rcl}x&=&-c+d.L1\\ y&=&2c.L2\\ z&=&0.L3\end{array}\right.[/tex]

Et si [tex]y=2c,[/tex] alors [tex]c=y/2.[/tex]

Puis,par conséquent,[tex]x=-c+d=>d=x+c=x+y/2 et z=0.[/tex]
Et quel que soit le vecteur,(x,y,z),on peut exprimer ce vecteur sous la forme  [tex](y/2)v1+(x+(y/2))v2[/tex] ,donc la famille est génératrice.

Ensuite dans le cas 2),pour montrer qu'elle est génératrice la famille,il faut faire la même chose.

Il faut montrer que [tex]V=av_1+bv_2+cv_3[/tex]

Donc [tex](x,y,z)=(a,0,a)+(0,2b,2b)+(3c,7c,1c)=(a+3c,2b+7c,a+2b+c)[/tex] donc [tex]x=a+3c. L3[/tex]; [tex]y=2b+7c.L2[/tex] ;[tex]z=a+2b+c.L1[/tex]
Ensuite,j'ai tenter de résoudre ce système avec le pivot de Gauss,ce qui donne:
:
[tex] L_2\leftarrow L_2-L_1[/tex] donne [tex]-a+6c=y-z[/tex]

On a alors le système [tex]\left\{\begin{array}{rcl}a+c+2b&=&z\\-a+6c&=&y-z\\a+3c&=&x\end{array}\right.[/tex]

Puis[tex] L_3\leftarrow L_3+L_2[/tex] donne [tex]c=\frac{x+y-z}{9}[/tex]

Ensuite [tex]L2-2L3[/tex] donne:[tex]-a+6c-2a-6c=y-z-2x=>-3a=y-z-2x=>a=(y-z+2x)/3.[/tex]

Et on en déduit b car [tex]a+c+2b=z[/tex]. (Bon ok c'est plus trop du pivot de Gauss la...)

Mais même si j'ai montrer que ces deux familles sont génératrice,comment montrer que ce sont des bases ?.

Fred

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Re : Montrer qu'une famille est libre,génératrice ou...

Salut,

Pour montrer que la famille est génératrice,il faut montrer qu'il existe un vecteur V tel que [tex]V=cv_1+dv_2[/tex].

Non, tu dois montrer que pour tout vecteur V=(x,y,z), alors on peut trouver [tex]c,d[/tex] tels que [tex]V=cv_1+dv_2[/tex].
C'est d'ailleurs ce que tu fais dans la suite. Mais il y a un truc qui cloche. Tu trouves qu'obligatoirement z=0.
Et donc le vecteur (0,0,1) ne peut pas être une combinaison linéaire de [tex](V_1,V_2)[/tex], la famille n'est pas génératrice.

Mais même si j'ai montrer que ces deux familles sont génératrice,comment montrer que ce sont des bases ?.

La réponse est forcément dans ton cours!!!

Joan94

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Re : Montrer qu'une famille est libre,génératrice ou...

Ah oui c'est vrai normalement elle n'est pas génératrice,suivant cette logique.
Euh oui je devrais revoir le cours,un truc m'a échappé,mais je voulais testé vos connaissance ^^,bon ok je rigole.
Mais merci :).