Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Joan94

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Intégration,changement de variable

Bonjour;
Je dois calculer une intégrale définie par J= intégrale de 2 à 1 de (x)/(x²(1+x²)²).
Et on me dit "En utilisant le changement de variable t=x²,montrer que :
J= intégrale de 4 à 1 de f(t) ou f(t)=1/(2t(1+t²)).

Mais bon déjà, je ne comprend pas pourquoi on passe de 2 à 1 à 4 à 1,mais j'ai tout de même tenté de calculer ça en disant que:
x²=t=> x= r(t) "racine de t".

Donc J= r(t)/t*1/(1+t)²=1/r(t)*1/(1+t)².

Puis,en posant u'=1/r(t) et v=1/(1+t)² on peut écrire que :
J= 1/(1+t)²*2r(t) -intégrale de 2r(t)-(2*1/(1+t)^3),donc J=1/(1+t)²*2r(t)+4 intégrale de r(t)/(1+t)^3.

Au delà du fait que tout ces calculs soient assez difficile, est-ce que j'ai utilisé la bonne "méthode"?
Parce ce que 3 intégrations par partie c'est long, surtout que la dernière n'est pas simple...

Fred

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Re : Intégration,changement de variable

Salut,

  Il faudrait absolument que tu apprennes à écrire en utilisant le Code Latex, éventuellement à l'aide de l'éditeur d'équations du forum, parce que là, ton message est pratiquement illisible.

D'abord, le changement de variables initial.
Si tu poses [tex]t=x^2[/tex], on change les bornes parce que, si x vaut 1, et bien t vaut 1^2=1, et si x vaut 2, t vaut [tex]2^2=4[/tex].
Ensuite, pas besoin d'introduire de racines carrés, parce que [tex]t=x^2[/tex] donne [tex]dt=2xdx[/tex], et donc au numérateur, tu peux directement remplacer [tex]xdx[/tex] par [tex]dt/2[/tex].

Ensuite, pour calculer l'intégrale que tu trouves à la fin, on decompose en éléments simples en écrivant que
[tex]\frac{1}{2t(1+t^2)}=\frac{a}{t}+\frac{ct+d}{t^2+1}[/tex]. Il faut trouver a,b,c (par identification), puis intégrer chacun des éléments simples.

F.

totomm

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Re : Intégration,changement de variable

Bonsoir,

juste moins rapide que Fred, mais s'il faut [tex]\int_2^1 {\frac{x}{x^2(1+x^2)^2} dx}[/tex]

alors après changement de variable on doit avoir [tex]\frac{1}{2}\int_4^1 {\frac{1}{t(1+t)^2} dt}[/tex]

et la suite suivant les conseils de Fred…

Joan94

Membre

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Re : Intégration,changement de variable

Salut,

  Il faudrait absolument que tu apprennes à écrire en utilisant le Code Latex, éventuellement à l'aide de l'éditeur d'équations du forum, parce que là, ton message est pratiquement illisible.

D'abord, le changement de variables initial.
Si tu poses [tex]t=x^2[/tex], on change les bornes parce que, si x vaut 1, et bien t vaut 1^2=1, et si x vaut 2, t vaut [tex]2^2=4[/tex].
Ensuite, pas besoin d'introduire de racines carrés, parce que [tex]t=x^2[/tex] donne [tex]dt=2xdx[/tex], et donc au numérateur, tu peux directement remplacer [tex]xdx[/tex] par [tex]dt/2[/tex].

Ensuite, pour calculer l'intégrale que tu trouves à la fin, on decompose en éléments simples en écrivant que
[tex]\frac{1}{2t(1+t^2)}=\frac{a}{t}+\frac{ct+d}{t^2+1}[/tex]. Il faut trouver a,b,c (par identification), puis intégrer chacun des éléments simples.

F.

Ok j'écrirais en latex dorénavant.
Ah oui effectivement les racines carré on compliqué l'expression,bon bin il ne reste qu'a trouvé a,b..
Merci :)

Joan94

Membre

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Re : Intégration,changement de variable

Bonsoir,

juste moins rapide que Fred, mais s'il faut [tex]\int_2^1 {\frac{x}{x^2(1+x^2)^2} dx}[/tex]

alors après changement de variable on doit avoir [tex]\frac{1}{2}\int_4^1 {\frac{1}{t(1+t)^2} dt}[/tex]

et la suite suivant les conseils de Fred…

Ok,merci totomm,tous les chemins mènent à rome ,t'inquiète :)

Dernière modification par Joan94 (12-12-2014 16:40:59)