Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour, je coince sur l'exercice suivant :

" Soit [tex]E[/tex] un R-espace vectoriel de dimension finie et [tex]u[/tex] un endomorphisme de [tex]E[/tex]  tel que [tex] u^3 = Id_E[/tex].
Décrire les sous-espaces stables de u. "

D'après le lemme des noyaux, on montre facilement que [tex]E = Ker( u - Id_E ) \oplus Ker( u^2 + u + Id_E ) [/tex]
J'ai réussi tout d'abord à montrer que [tex]F [/tex] sous-espace stable par [tex] u [/tex] implique que [tex]F = F_1 \oplus F_2 [/tex] avec [tex]F_1 = F \cap Ker( u - Id_E )[/tex] et [tex]F_2 = F \cap Ker( u^2 + u + Id_E ) [/tex].

Cependant, j'ai du mal avec l'implication réciproque. On montre aisément que [tex]F_1[/tex] est stable par [tex]u[/tex] et j'essaie de faire de même avec [tex] F_2 [/tex] mais je n'y arrive pas...
Je ne sais même pas si la réciproque est vraie, il faut peut-être arrêter le raisonnement ici.

Je vous remercie d'avance de vos réponses !

Bonjour à tous,
Je dois réaliser un petit oral de maths comme devoir de vacances.

J'ai alors choisi le sujet suivant : " Généralisation de la résolution des suites arithmético-géométriques définies par récurrence "

En effet, considérons [tex] (u_n)_{n\in \mathbb{N} } [/tex] une suite arithmético-géométrique quelconque. 

Elle est alors définie de la manière suivante : [tex] u_{n+1} = \alpha u_n + \beta  [/tex] où [tex] u_0 = \gamma [/tex] où [tex] \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R} [/tex]

Dans notre résolution, on va distinguer 3 cas :

1 er cas : [tex] \alpha = 1 [/tex]

On sait alors que [tex] (u_n)_{n\in \mathbb{N} } [/tex] est une suite arithmétique, donc [tex] \forall n \in \mathbb{N}, u_n = \gamma + \beta n [/tex].

2 ème cas : [tex] \alpha = 0 [/tex]

[tex] (u_n) [/tex] est donc une suite stationnaire car [tex] u_0 = \gamma [/tex] et [tex] \forall n \ge 1, u_n = β[/tex]

3 ème cas : On suppose [tex] \alpha \ne 1 [/tex] et [tex] \alpha \ne 0 [/tex]

On trouve que [tex] \forall n \in \mathbb{N}, u_n = ( \gamma - l ) * \alpha^n + l [/tex] où [tex] l [/tex] est le point de convergence "possible" de [tex] (u_n) [/tex] : [tex] l =  \frac{\beta}{ 1 - \alpha } [/tex] .

Pour obtenir cela, on a du poser la suite [tex] (v_n) [/tex] telle que [tex] \forall n \in \mathbb{N} [/tex]  : [tex] v_n = u_n - l [/tex]

On montre sans difficulté qu'elle est géométrique de raison [tex] \alpha [/tex]

On arrive enfin à ma question. Prouver que [tex] (v_n) [/tex] est géométrique n'est pas difficile, mais expliquer pourquoi me coince un peu plus. Est-ce que quelqu'un saurait m'expliquer pourquoi la suite [tex] (v_n) [/tex] définie de la manière précédente est toujours géométrique et de raison [tex] \alpha [/tex] ?

N'hésiter pas à me corriger s'il y a des erreurs et aussi à apporter d'autres précisions ou résultats intéressants avec ce thème, merci !

Bonjour, je rencontre quelques doutes concernant la solution proposée dans cette vidéo pour le dernier exercice, la (d) :
https://www.youtube.com/watch?v=7QZzIyXG-Ws

En effet, pour montrer que [tex] M \in M_n(\mathbb{C}) [/tex] diagonalisable implique que pour toute valeur propre λ de M, [tex] Ker( M - λI_n ) = Ker( M - λI_n)^2 [/tex],
on procède par double inclusion.

L'inclusion [tex] Ker( M - λI_n ) \subset  Ker( M - λI_n)^2 [/tex] est triviale.

On souhaite donc montrer que [tex] Ker( M - λI_n)^2  \subset Ker( M - λI_n)[/tex].

Comme M diagonalisable, alors [tex] \mathbb{C}^n = \oplus_λ Ker( M - λI_n )    [/tex]

Nous savons donc que [tex] Ker( M - λI_n)^2  \subset \oplus_λ Ker( M - λI_n ) [/tex]

Dans la correction, on prouve par la suite que pour toute valeur propre [tex] λ' \ne λ[/tex], nous avons [tex] Ker( M - λI_n)^2 \cap Ker( M - λ'I_n)  [/tex] = {0}

La correction conclut alors que comme [tex] Ker( M - λI_n)^2  \subset \oplus_λ Ker( M - λI_n ) [/tex] et [tex] Ker( M - λI_n)^2 \cap Ker( M - λ'I_n)  [/tex] = {0} pour toute valeur propre [tex] λ' \ne λ[/tex], cela implique que [tex] Ker( M - λI_n)^2  \subset Ker( M - λI_n)[/tex].

C'est sur cette dernière étape que j'ai du mal à comprendre, même si cela semble juste, j'éprouve cependant des doutes.

Je vous remercie d'avance de vos réponses !

Bonjour, je voudrais savoir si le résultat suivant est juste, et avoir éventuellement une preuve ( parce que je galère un peu ) :

" Considérons [tex]a_1, ..., a_n [/tex] des nombres complexes, alors  [tex]\sum_{k=1}^n (a_k) ^p = 0  [/tex]  pour tout p > 0
[tex]\Rightarrow \forall [/tex] k dans { 1 ; ... ; n },  [tex] a_k = 0 [/tex]

Je vous remercie d'avance de vos retours !

Bonjour, j'étais en train de réaliser l'exercice 20 du lien suivant :
https://www.bibmath.net/ressources/inde … &type=fexo

Cependant, il me manque on va dire quelques connaissances.
A la question 3, on évoque les classe de similitudes des endomorphismes involutifs de E. Si j'ai bien compris, une classe de similitudes (des endomorphismes involutifs de E) est l'ensemble des endomorphismes involutifs qui sont semblables deux à deux.

Si je ne me suis pas trompé sur la définition, alors ces classes de similitudes sont déterminées par la trace des différents endomorphismes involutifs (puisque 2 endomorphismes sont semblables si et seulement si ils ont la même trace, d'après la question ).

Mais alors, je ne comprends pas pourquoi il y a ''au plus'' n+1 classes de similitudes (d'après la correction) et non pas simplement n+1.
En effet, la trace peut prend n+1 valeurs différentes : Tr(u) = 2dim(Fu) - n avec dim(Fu) dans l'intervalle [[ 0 ; n ]], pour tout endomorphisme involutif u.

Et nous savons aussi que chacune de ses classes sont non vides ( preuve dans la correction ).

Alors, il doit y avoir n+1 classes, non ? Je vous remercie de tous vos retours !

Bonjour,
je rencontre un petit soucis concernant la correction de la question 2 de l'exercice 16, du lien suivant :
https://www.bibmath.net/ressources/inde … &type=fexo

En effet, on affirme que n(a+b) et n(a-b) sont des vecteurs non colinéaires.
Mais cela n'est vrai uniquement si b est différent de 0, non ?

Puisque aucune hypothèse ( du moins à ma connaissance ) ne contredit le cas où b = 0, on ne peut donc pas affirmer que n(a+b) et n(a-b) sont des vecteurs non colinéaires.

Je vous remercie d'avance de vos retours, j'ai sûrement dû louper un détail

Boujour, voici l'énoncé de l'exercice

"
Soient φ une forme linéaire non nulle sur R^n  et f un endomorphisme de R^n.

(i) Montrer que le noyau de φ est stable par f <=> (ii) il existe un réel λtel que φ ∘ f = λφ
                                                                                                                          "

J'ai réussi l'implication de (ii) vers (i) qui était plutôt simple. Cependant, je patauge un peu pour ca réciproque...

Je vous remercie d'avance pour tous vos retours !