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#1 31-10-2023 10:20:59
- Bivalve
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Suite arithmético-géométrique
Bonjour à tous,
Je dois réaliser un petit oral de maths comme devoir de vacances.
J'ai alors choisi le sujet suivant : " Généralisation de la résolution des suites arithmético-géométriques définies par récurrence "
En effet, considérons [tex] (u_n)_{n\in \mathbb{N} } [/tex] une suite arithmético-géométrique quelconque.
Elle est alors définie de la manière suivante : [tex] u_{n+1} = \alpha u_n + \beta [/tex] où [tex] u_0 = \gamma [/tex] où [tex] \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R} [/tex]
Dans notre résolution, on va distinguer 3 cas :
1 er cas : [tex] \alpha = 1 [/tex]
On sait alors que [tex] (u_n)_{n\in \mathbb{N} } [/tex] est une suite arithmétique, donc [tex] \forall n \in \mathbb{N}, u_n = \gamma + \beta n [/tex].
2 ème cas : [tex] \alpha = 0 [/tex]
[tex] (u_n) [/tex] est donc une suite stationnaire car [tex] u_0 = \gamma [/tex] et [tex] \forall n \ge 1, u_n = β[/tex]
3 ème cas : On suppose [tex] \alpha \ne 1 [/tex] et [tex] \alpha \ne 0 [/tex]
On trouve que [tex] \forall n \in \mathbb{N}, u_n = ( \gamma - l ) * \alpha^n + l [/tex] où [tex] l [/tex] est le point de convergence "possible" de [tex] (u_n) [/tex] : [tex] l = \frac{\beta}{ 1 - \alpha } [/tex] .
Pour obtenir cela, on a du poser la suite [tex] (v_n) [/tex] telle que [tex] \forall n \in \mathbb{N} [/tex] : [tex] v_n = u_n - l [/tex]
On montre sans difficulté qu'elle est géométrique de raison [tex] \alpha [/tex]
On arrive enfin à ma question. Prouver que [tex] (v_n) [/tex] est géométrique n'est pas difficile, mais expliquer pourquoi me coince un peu plus. Est-ce que quelqu'un saurait m'expliquer pourquoi la suite [tex] (v_n) [/tex] définie de la manière précédente est toujours géométrique et de raison [tex] \alpha [/tex] ?
N'hésiter pas à me corriger s'il y a des erreurs et aussi à apporter d'autres précisions ou résultats intéressants avec ce thème, merci !
Dernière modification par Bivalve (31-10-2023 10:23:30)
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#2 31-10-2023 11:19:27
- Zebulor
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Re : Suite arithmético-géométrique
Bonjour,
dans ton 3e cas ça ne serait pas plutôt [tex] \alpha \ne 1 [/tex] et [tex] \beta \ne 0 [/tex] ? A moins qu'une suite géométrique ne soit considérée comme un cas particulier de suite arithmético géométrique, dans ce cas seule la condition [tex] \alpha \ne 1 [/tex] suffit..
Dernière modification par Zebulor (31-10-2023 11:28:32)
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#3 31-10-2023 11:22:30
- Zebulor
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- Messages : 2 220
Re : Suite arithmético-géométrique
Après si tu écris que c'est sans difficulté, je ne comprends pas pourquoi tu écris que ca "coince un peu plus" ... Je crois qu'il te suffit d'exploiter une égalité dans laquelle intervient la limite de la suite $(u_n)
Dernière modification par Zebulor (31-10-2023 11:30:57)
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#4 31-10-2023 11:34:21
- Bivalve
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- Messages : 66
Re : Suite arithmético-géométrique
J'ai mis [tex] \alpha \ne 0 [/tex] car si [tex] \alpha = 0 [/tex], on aurait une forme indéterminée pour [tex] u_0 [/tex] de type [tex] 0^0 [/tex]. Je n'ai pas mis la condition [tex] \beta \ne 0 [/tex] car le résultat du cas 3 se généralise pour n'importe quel [tex] \beta [/tex] réel.
Après si cela semble impertinent, je peux la mettre.
Concernant [tex] (v_n) [/tex], j'arrive à prouver qu'elle est géométrique, mais je voulais savoir s'il existe une explication sans calcul du résultat car l'apparition d'une telle suite semble assez surprenant.
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#5 31-10-2023 15:08:30
- cailloux
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Re : Suite arithmético-géométrique
Bonjour,
Une "explication sans calculs" me semble difficile. Au reste, les "calculs" en question sont très simples :
$\begin{cases}u_{n+1}=\alpha u_n+\beta\\\ell=\alpha\ell+\beta\end{cases}$ où $\ell=\dfrac{\beta}{1-\alpha}$
et on a immédiatement par différence: $u_{n+1}-\ell=\alpha (u_n-\ell)$ soit $v_{n+1}=\alpha \,v_n$
Que veux-tu de mieux comme "explication" ?
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#6 31-10-2023 15:23:35
- Zebulor
- Membre expert
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- Messages : 2 220
Re : Suite arithmético-géométrique
Re,
j'aurais tendance à répondre comme cailloux...
Sinon pour le 3e cas; il est possible d'écrire $u_n$ en fonction de $\alpha$, $n$, $u_0$ et $\beta$ . Dès lors tu peux voir que la suite $(u_{n}-l)_{n \in \mathbb N}$ est géométrique, puisqu'il apparaît que $u_{n+1}-l$ proportionnel à quelque chose...
De là à se passer de calculs, je ne vois pas comment...
mais je voulais savoir s'il existe une explication sans calcul du résultat car l'apparition d'une telle suite semble assez surprenant.
Cette surprise là n a plus lieu d’être.
Dernière modification par Zebulor (01-11-2023 07:25:57)
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#7 31-10-2023 15:32:44
- Rescassol
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Re : Suite arithmético-géométrique
Bonjour,
Si tu cherches une raison intuitive, tu peux dire que [tex]y=\alpha x + \beta[/tex] et [tex]y=\alpha x[/tex] sont les équations d'une même droite dans deux repères déduits l'un de l'autre par translation.
Cordialement,
Rescassol
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