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Bivalve

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Exercices - Espace stable

Boujour, voici l'énoncé de l'exercice

"
Soient φ une forme linéaire non nulle sur R^n  et f un endomorphisme de R^n.

(i) Montrer que le noyau de φ est stable par f <=> (ii) il existe un réel λtel que φ ∘ f = λφ
                                                                                                                          "

J'ai réussi l'implication de (ii) vers (i) qui était plutôt simple. Cependant, je patauge un peu pour ca réciproque...

Je vous remercie d'avance pour tous vos retours !

Dernière modification par Bivalve (09-08-2023 12:03:26)

Roro

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Re : Exercices - Espace stable

Bonjour,

Peut être une indication : si $\varphi$ est une forme linéaire non nulle sur $\mathbb R^n$ alors $\mathrm{ker}(\varphi)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^n$ de dimension $n-1$ (c'est une conséquence directe due théorème du rang).

Il existe donc une droite vectorielle $D=\mathrm{vect}\{e\}$ telle que
$$\mathrm R^n = \mathrm{ker}(\varphi) \oplus D.$$

Ainsi, pour tout $x\in \mathbb R^n$, il existe $x_0\in \mathrm{ker}(\varphi)$ et $\lambda\in \mathbb R$ tel que $x=x_0+ \lambda e$.

Roro.

Dernière modification par Roro (09-08-2023 13:26:21)

Bivalve

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Re : Exercices - Espace stable

Merci pour votre aide !

On déduit donc que pour tout x dans R^n, φ ∘ f(x) = φ ∘ f(x0 + λe) = φ ∘ f(x0) + φ ∘ f(λe) = 0 + φ ∘ f(λe) car le noyau est stable par f
= λ φ ∘ f(e)

Il suffit de poser la décomposition de f(e) dans E : f(e) = y + λ'e

Et on a,  φ ∘ f(x) = λ φ ∘ f(e) = λ φ( y + λ'e ) = λλ' φ(e) = λ' φ(λe) =  λ' φ(x0 + λe) = λ' φ(x)

Donc φ ∘ f = λ' φ