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#1 20-12-2023 20:09:19
- Bivalve
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- Messages : 66
Endomorphisme de dérivation
Bonjour à tous, voici le sujet de l'exercice :
" Soit E l'espace des fonctions de classe C-infini de [tex] \mathbb{R} [/tex] dans [tex] \mathbb{R} [/tex]. On note [tex] D[/tex] l'endomorphisme de E qui à une fonction associe sa dérivée. Montrer qu'il n'existe aucun endomorphisme [tex] \Phi[/tex] tel que [tex]\Phi \circ \Phi = D [/tex] "
J'ai réussi à poser une démonstration qui a l'air un peu bancal et je voudrais avoir votre avis.
Je vous remercie par avance du temps que vous allez m'accorder, merci !
Voici ma démarche :
Supposons l'existence d'un tel endomorphisme [tex]\Phi[/tex].
On vérifie facilement que [tex]Ker(\Phi) \subset Ker(\Phi \circ \Phi ) = Ker(D) [/tex].
Nous savons que [tex] Ker(D) = \mathbb{R} [/tex], donc [tex]dim Ker(D) = 1 [/tex].
Alors forcément, [tex] Ker(\Phi) = \{ 0 \} [/tex] ou [tex] Ker(\Phi) = Ker(D) = \mathbb{R} [/tex]
Puisque [tex] D = \Phi \circ \Phi [/tex] n'est pas injective, on déduit alors que [tex] \Phi [/tex] non plus, alors forcément [tex] Ker(\Phi) = \mathbb{R} [/tex].
Montrons à présent que [tex] \mathbb{R}_n[X] [/tex] est stable par [tex]\Phi [/tex] ( pour [tex]n[/tex] entier naturel quelconque ).
On sait que pour tout [tex]P[/tex] de [tex]\mathbb{R}_n[X][/tex], [tex]D^{n+1}(P) = 0[/tex]
[tex] \iff (\Phi \circ \Phi)^{n+1}(P) = 0 \iff \Phi( \Phi^{2n+1}(P) ) = 0 [/tex]
Puisque [tex] Ker(\Phi) = \mathbb{R}[/tex], alors il existe une constante [tex] \alpha[/tex] tel que [tex] \Phi^{2n+1}(P) = \alpha [/tex]
Donc [tex] D^n( \Phi(P) ) = \alpha [/tex]
On intègre alors [tex] n [/tex]-fois [tex] D^n( \Phi(P) ) [/tex] et on trouve que [tex] \Phi(P) [/tex] est égal à un polynome de degré maximale [tex] n [/tex]. On déduit alors que [tex] \mathbb{R}_n[X] [/tex] est un espace stable par [tex] \Phi [/tex].
Posons alors [tex] \Phi_R [/tex] l'endomorphisme induit par [tex] \Phi [/tex] sur [tex] \mathbb{R}_n[X] [/tex] avec [tex] n = 2q+1[/tex] impair.
Nous savons que [tex] \Phi_R^{2n+2} = D_R^{n+1} = 0 [/tex] ( avec [tex]D_R[/tex] endomorphisme induit par [tex]D[/tex] sur [tex] \mathbb{R}_n[X] [/tex] ).
On sait alors que [tex] \Phi_R[/tex] est nilpotent. On sait que tout endomorphisme nilpotent d'un espace de dimension fini [tex] n[/tex] a un ordre de nilpotence inférieur ou égal à [tex] n [/tex].
On déduit alors que [tex] \Phi_R^{n+1} = 0 \iff \Phi_R^{2q+2} = 0 \iff D_R^{q+1} = 0 [/tex] avec [tex] q < n [/tex].
C'est absurde puisque la dérivée [tex]q+1[/tex]-ième d'un polynome ( fonction polynomiale ) de degré [tex]n[/tex] n'est pas nul pour [tex] q < n [/tex].
On conclut alors qu'il n'existe aucun endomorphisme [tex]\Phi[/tex] tel que [tex]\Phi \circ \Phi = D [/tex].
Dernière modification par Bivalve (20-12-2023 20:42:02)
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#2 20-12-2023 20:29:25
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : Endomorphisme de dérivation
Bonsoir,
Ta preuve me semble correcte (hormis que je pense que c'est $D_R^{q+1}=0$ et non $D_R^q=0$).
Cela dit, ton argument à la fin me semble pouvoir être simplifié. Si tu sais que $\ker(\phi)=\mathbb R$
et $\phi(\mathbb R_1[X])\subset\mathbb R_1[X]$, tu peux écrire $\phi(X)=aX+b$ et $\phi(1)=0$.
Mais alors $\phi\circ\phi(X)=a(aX+b)+b=a^2 X+ab$ d'une part et $\phi\circ\phi(X)=D(X)=1$ d'autre part.
Donc on doit avoir $a^2=0$ et $ab=1$, une contradiction!
F.
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#4 21-12-2023 09:05:50
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 464
Re : Endomorphisme de dérivation
Bonjour,
On peut raisonner directement sur $E$. Soit $\Phi$ un endomorphisme de $E$ tel que $D=\Phi\circ \Phi$. Puisque $D$ est surjectif, $\Phi$ est surjectif. Puisque $D$ n'est pas injectif, $\ker(\Phi)\neq \{0\}$. Donc $\ker(D)=\Phi^{-1}(\ker(\Phi))$ contient strictement $\ker(\Phi)$ et est de dimension $\geq 2$. Absurde, puisque $\ker(D)$ est la droite vectorielle des fonctions constantes.
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