Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E,$ supplémentaires dans $E.$
On suppose de  plus que $\dim(E) = 2n$ et $\dim(F) = \dim(G)=n.$ Soit $f$ un endomorphisme de $F$ et $g$ une application linéaire de $F$ vers $G.$

On considère l'endomorphisme $\varphi$ de $E$ défini par : $$\varphi_{\vert{F}} = f + g ~~\text{et}~~ \varphi_{\vert{G}} = g^{-1}$$

Je veux montrer que $\ker \varphi = \{0\}.$

Soit $x \in E,$ il existe un unique couple $(x_1, x_2) \in F \times G$ tel que $x = x_1 + x_2,$ en appliquant $\varphi,$ il vient :

$$\varphi(x) = \varphi(x_1+x_2) = f(x_1) + g(x_1) + g^{-1}(x_2)$$

Puis on résout : $$0 = \varphi(x) =   f(x_1) + g(x_1) + g^{-1}(x_2).$$

Suis-je sur la bonne voie ? Je me retrouve avec une équation à deux inconnues...

Auriez-vous une autre piste ?
Merci.

Bonjour,

Soit $\alpha \in ]0,1[.$

La fonction $ t \mapsto \dfrac{e^{-t}}{t^{\alpha}}$ étant intégrable sur $]0, +\infty[,$ on souhaite calculer $\displaystyle \lim_{x \to 0} \int_{x}^{+\infty}\dfrac{e^{-t}}{t^{\alpha}} ~\mathrm{d}t$

Considèrons la fonction $x \mapsto  \displaystyle \int_{x}^{+\infty}\dfrac{e^{-t}}{t^{\alpha}} ~ \mathrm{d}t $

Mon idée c'est d'expliciter la fonction, pour cela j'ai pensé à un changement de variable. Celui qui me semble le plus naturel est $u = e^{-t}$ ce qui nous donne :

$$\displaystyle \int_{0}^{e^{x}}\dfrac{1}{(- \ln u)^{\alpha}} ~ \mathrm{d}u $$

Comment aller plus loin ?

D'avance merci pour votre aide

User.

Bonjour

Soit $\alpha \in ]0,1[.$ On considère la fonction $\displaystyle f_{\alpha} : x \mapsto \int_{0}^{+\infty}\dfrac{t^{\alpha-1}}{1+t}e^{-xt}~\mathrm{d}t$ définie et continue sur $[0, +\infty[.$ Je souhaite montrer que cette fonction est de classe $\mathcal{C}_1$ sur $]0, +\infty[.$

Je n'arrive pas à établir l'hypothèse de domination pour $\frac{\partial f}{\partial x} :$

Pour tout $x \in [0, +\infty[,$ la fonction $t  \mapsto - \dfrac{t^{\alpha}}{1+t}e^{-xt}$  est continue sur $[0, +\infty[$ et pour tout $(x,t) \in [0, +\infty[ \times [0, +\infty[,$ on a :

$$ \left \lvert - \dfrac{t^{\alpha}}{1+t}e^{-xt} \right \rvert \leqslant \dfrac{t^{\alpha}}{1+t}$$

Montrons que $t \mapsto \dfrac{t^{\alpha}}{1+t}$ est intégrable sur $[0, +\infty[$

On a $\dfrac{t^{\alpha}}{1+t} \sim t^{\alpha} $ au voisinage de $0$ et $t \mapsto t^{\alpha}$ est intégrable sur $[0,1].$ Au voisinage de $+\infty,$ on a $\dfrac{t^{\alpha}}{1+t} = o(t^{\alpha})$ mais l'intégrale de $t \mapsto t^{\alpha}$ diverge sur $[1, +\infty[. $

Auriez vous des suggestions ?

D'avance merci

User.

Bonjour à tous,

Soit $\mathbb{K}$ un corps et $P$ un polynôme unitaire de degré $n$ et $\lambda_i, a_ i \in \mathbb{K} $ tels que : $$(X - \lambda_1) \times \cdots \times (X - \lambda_n) = X^n + \sum_{k=0}^{n-1} a_k \cdot X^k.$$

Je cherche à retrouver la formule coefficients-racines par le raisonnement.

On trouve facilement $a_0$ par évaluation (on fait $X=0$) et on trouve $a_0 = (-1)^n \lambda_1 \times \cdots \times \lambda_n. $ Mais je n'arrive pas à faire  le raisonnement pour trouver la formule qui donne $a_k$ en fonction des $\lambda_ i.$ Si on veut par exemple identifier $a_k,$ on regarde le membre de gauche ci-dessus, puis en développant si on choisi $X$ $k$ fois, alors $\lambda_i$ apparaît $n-k$ fois ce qui donne un terme du développement : $(-1)^{n-k} \lambda_{i_1} \times \cdots \times \lambda_{i_k},$ après je ne vois pas comment faire.

D'avance merci pour vos retours,

User.

Bonjour,

Soit $(x_k)_{k\in \mathbf{Z}}$ une suite sommable de nombres complexes, on pose $$S_n = \sum_{-n \leqslant k \leqslant n} x_k$$ il s'agit de montrer que la suite $(S_n)$ des sommes partielles converge.

On rappelle qu'une suite de complexes indexée par $\mathbf{Z}$ est sommable si et seulement si il existe $M>0$ tel que pour tout entier naturel $n,$

$$\sum_{-n \leqslant k \leqslant n} \lvert x_k \rvert \leqslant M.$$

J'ai tenté de montrer que $(S_n)$  est une suite de Cauchy :

En séparant les indices positifs des négatifs, on a $$S_n = x_0 + \sum_{k = 1}^{n} x_k + x_{-k}$$

Soient $p>q $ tels que $$S_p -S_q = \sum_{k = q}^{p} x_k + x_{-k} ~(*)$$

Ensuite, je suis bloqué car je ne vois pas comment rendre $(*)$ arbitrairement petite ni comment utiliser l'hypothèse de sommabilité de la suite.

Auriez vous des suggestions ? 

User.