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user1992

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Minoration de $\ln n!$

Bonjour à tous,

Je cherche à montrer que $\ln n! \geqslant \dfrac{n \ln n}{2}.$ (pour des grandes valeurs de $n$) A l'aide d'une comparaison série-intégrale, on peut écrire :

$$\ln n! = \sum_{k=1}^n \ln k \geqslant \int_{2}^{n} \ln t ~\mathrm{d}t.$$

En calculant l'intégrale, on obtient : $\ln n! \geqslant n \ln n -n +1.$ On peut aussi écrire $n \ln n -n +1 \geqslant n \ln n -n \geqslant \frac{n}{2} \ln n -n.$ Mais je ne parviens pas à raffiner la minoration pour mettre en facteur $\frac{1}{2}.$ Auriez vous une idée ?

D'avance merci.

Glozi

Invité

Re : Minoration de $\ln n!$

Bonsoir,
Est-ce que ton intégrale ne part plutôt de $1$ au lieu de $2$ ?
Sinon, tu peux juste essayer de montrer que pour $n$ grand alors $n\ln(n)-n+1\geq \frac{n\ln(n)}{2}$
(indice qu'est ce qui est le plus grand entre $n$ et $n\ln(n)/2$ pour $n$ grand ?).
Bonne soirée

Michel Coste

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Re : Minoration de $\ln n!$

Bonjour,
Idée différente :
$$\begin{array}{ccccccccc} 2\ln(n!)&=&\ln(1)&+&\ln(2)&+&\cdots&+&\ln(n)\\ &&\ln(n)&+&\ln(n-1)&+ &\cdots&+&\ln(1)\end{array}$$

user1992

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Re : Minoration de $\ln n!$

Bonsoir,

Oui en effet on aurait plutôt :

$$\ln n! = \sum_{k=2}^n \ln k \geqslant \int_{1}^{n} \ln t ~\mathrm{d}t.$$

Pour $n$ grand, on a : $n \leqslant \dfrac{n \ln n}{2}.$ (j'ai vérifié graphiquement), on peut donc écrire :

$$\ln n! \geqslant n \ln n -n+1 \geqslant n \ln n - n \geqslant n \ln n - \frac{n \ln n}{2} = \frac{n \ln n}{2}.$$

Merci Glozi !

Michel Coste

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Re : Minoration de $\ln n!$

Pas besoin de supposer $n$ grand !

user1992

Membre

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Re : Minoration de $\ln n!$

Bonjour,
Idée différente :
$$\begin{array}{ccccccccc} 2\ln(n!)&=&\ln(1)&+&\ln(2)&+&\cdots&+&\ln(n)\\ &&\ln(n)&+&\ln(n-1)&+ &\cdots&+&\ln(1)\end{array}$$

Bonsoir,

Pour $1 \leqslant k \leqslant n, ~\ln\big(k(n-k+1)\big) \geqslant \ln n.$

En ajoutant les termes deux à deux verticalement, on a :

$$2\ln(n!) = \ln(1 \times n) + \ln (2 \times (n - 1)) + \cdots + \ln ((n-1) \times 2) + \ln(n \times 1) $$

La somme étant à $n$ termes : $2 \ln (n!) \geqslant n \ln(n).$

Et la minoration en découle.

Merci Michel !

Dernière modification par user1992 (16-02-2024 19:01:16)

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Minoration de $\ln n!$

Avec plaisir.