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user1992

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Endomorphisme défini par ses restrictions à des sous-espaces.

Bonjour,

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E,$ supplémentaires dans $E.$
On suppose de  plus que $\dim(E) = 2n$ et $\dim(F) = \dim(G)=n.$ Soit $f$ un endomorphisme de $F$ et $g$ une application linéaire de $F$ vers $G.$

On considère l'endomorphisme $\varphi$ de $E$ défini par : $$\varphi_{\vert{F}} = f + g ~~\text{et}~~ \varphi_{\vert{G}} = g^{-1}$$

Je veux montrer que $\ker \varphi = \{0\}.$

Soit $x \in E,$ il existe un unique couple $(x_1, x_2) \in F \times G$ tel que $x = x_1 + x_2,$ en appliquant $\varphi,$ il vient :

$$\varphi(x) = \varphi(x_1+x_2) = f(x_1) + g(x_1) + g^{-1}(x_2)$$

Puis on résout : $$0 = \varphi(x) =   f(x_1) + g(x_1) + g^{-1}(x_2).$$

Suis-je sur la bonne voie ? Je me retrouve avec une équation à deux inconnues...

Auriez-vous une autre piste ?
Merci.

Dernière modification par user1992 (31-05-2023 13:59:01)

Glozi

Invité

Re : Endomorphisme défini par ses restrictions à des sous-espaces.

Bonjour,
J'imagine que ton $g$ est bijectif sinon il y a un problème.
Une fois que tu as écrit $0=f(x_1)+g(x_1)+g^{-1}(x_2)$ essaye de voir dans le second membre qui vit dans $F$ et qui vit dans $G$.
Bonne journée

user1992

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Re : Endomorphisme défini par ses restrictions à des sous-espaces.

Oui,il fallait penser au fait que $0$ s'écrit de manière unique dans $E.$

On a  $g^{-1}(x_2) \in G,$ $g(x_1) \in G$ et $f(x_1) \in F.$ Par unicité de la décomposition du vecteur nul dans $E$, il vient : 

$f(x_1) = 0 \implies x_1 = 0$ et $g(x_1) + g^{-1}(x_2) = 0 \iff g(0) + g^{-1}(x_2) = 0 \implies x_2 = 0.$

Merci !

J'imagine que ton $g$ est bijectif sinon il y a un problème.

Oui en effet, j'ai oublié de le préciser dans l'énoncé. J'ai aussi oublié de préciser que
$f$ vérifie $f = f ^{-1}$

Dernière modification par user1992 (31-05-2023 15:13:11)

Glozi

Invité

Re : Endomorphisme défini par ses restrictions à des sous-espaces.

Attention, $g^{-1}(x_2)$ est plutôt un élément de $F$ à priori. D'ailleurs sommes nous certains que $f(x_1)=0\Rightarrow x_1=0$ ?

user1992

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Re : Endomorphisme défini par ses restrictions à des sous-espaces.

Attention, $g^{-1}(x_2)$ est plutôt un élément de $F$ à priori.

Oui car : $g^{-1} : G \to F$

D'ailleurs sommes nous certains que $f(x_1)=0\Rightarrow x_1=0$ ?

J'ai oublié de préciser que $f$ vérifie $f = f^{-1}$ (mais cette hypothèse est en faite inutile.)

Je reprends mon calcul :

$g(x_1) = 0 \implies x_1 = 0 ~~ \text{car g est bijective}$

$f(0) + g^{-1}(x_2) = 0  \implies x_2 = 0 ~~ \text{car g est bijective}$

D'après la question Q22 b) CCP filière TPC - 2023.

Merci Glozi !

Dernière modification par user1992 (31-05-2023 15:35:22)