Forum de mathématiques - Bibm@th.net

user1992

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Dérivation d'une intégrale à paramètre

Bonjour

Soit $\alpha \in ]0,1[.$ On considère la fonction $\displaystyle f_{\alpha} : x \mapsto \int_{0}^{+\infty}\dfrac{t^{\alpha-1}}{1+t}e^{-xt}~\mathrm{d}t$ définie et continue sur $[0, +\infty[.$ Je souhaite montrer que cette fonction est de classe $\mathcal{C}_1$ sur $]0, +\infty[.$

Je n'arrive pas à établir l'hypothèse de domination pour $\frac{\partial f}{\partial x} :$

Pour tout $x \in [0, +\infty[,$ la fonction $t  \mapsto - \dfrac{t^{\alpha}}{1+t}e^{-xt}$  est continue sur $[0, +\infty[$ et pour tout $(x,t) \in [0, +\infty[ \times [0, +\infty[,$ on a :

$$ \left \lvert - \dfrac{t^{\alpha}}{1+t}e^{-xt} \right \rvert \leqslant \dfrac{t^{\alpha}}{1+t}$$

Montrons que $t \mapsto \dfrac{t^{\alpha}}{1+t}$ est intégrable sur $[0, +\infty[$

On a $\dfrac{t^{\alpha}}{1+t} \sim t^{\alpha} $ au voisinage de $0$ et $t \mapsto t^{\alpha}$ est intégrable sur $[0,1].$ Au voisinage de $+\infty,$ on a $\dfrac{t^{\alpha}}{1+t} = o(t^{\alpha})$ mais l'intégrale de $t \mapsto t^{\alpha}$ diverge sur $[1, +\infty[. $

Auriez vous des suggestions ?

D'avance merci

User.

Fred

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Re : Dérivation d'une intégrale à paramètre

Bonsoir,

  Tu ne peux pas te contenter de majorer $|e^{-xt}|$ par $1.$
Comme tu peux le remarquer, alors que tu as démontré que $f_\alpha$ est continue sur $[0,+\infty[$, tu dois juste démontrer qu'elle est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$. Il suffit de démontrer que pour tout $x_0>0,$ alors $f_\alpha$ est $C^1$ sur $[x_0,+\infty[$. Et si tu supposes que $x\geq x_0,$ tu peux obtenir une meilleure majoration de $e^{-xt}$.

F.

user1992

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Re : Dérivation d'une intégrale à paramètre

Bonsoir Fred,

Merci pour ton retour.

Fixons $x_0> 0$ alors pour tout $x \geqslant x_0,$ on a :

$$ \left \lvert - \dfrac{t^{\alpha}}{1+t}e^{-xt} \right \rvert \leqslant \dfrac{t^{\alpha}}{1+t} e^{-x_0t}$$

Et, par croissance comparée, au voisinage de $+\infty,$ on a:

$$\dfrac{t^{\alpha+2}}{1+t} e^{-x_0t} = o(1) \implies \dfrac{t^{\alpha}}{1+t} e^{-x_0t} = o\left(\frac{1}{t^2}\right) $$

On obtient l'intégrabilité de la fonction sur $[x_0, +\infty[$ par comparaison  à une intégrale de Riemann qui converge.

Dernière modification par user1992 (20-05-2023 22:25:17)