Forum de mathématiques - Bibm@th.net

user1992

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Intégrale généralisée et calcul de limite.

Bonjour,

Soit $\alpha \in ]0,1[.$

La fonction $ t \mapsto \dfrac{e^{-t}}{t^{\alpha}}$ étant intégrable sur $]0, +\infty[,$ on souhaite calculer $\displaystyle \lim_{x \to 0} \int_{x}^{+\infty}\dfrac{e^{-t}}{t^{\alpha}} ~\mathrm{d}t$

Considèrons la fonction $x \mapsto  \displaystyle \int_{x}^{+\infty}\dfrac{e^{-t}}{t^{\alpha}} ~ \mathrm{d}t $

Mon idée c'est d'expliciter la fonction, pour cela j'ai pensé à un changement de variable. Celui qui me semble le plus naturel est $u = e^{-t}$ ce qui nous donne :

$$\displaystyle \int_{0}^{e^{x}}\dfrac{1}{(- \ln u)^{\alpha}} ~ \mathrm{d}u $$

Comment aller plus loin ?

D'avance merci pour votre aide

User.

Dernière modification par user1992 (23-05-2023 18:46:15)

Roro

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Re : Intégrale généralisée et calcul de limite.

Bonsoir,

Je te conseille d'aller jeter un coup d'oeil vers la fonction $\Gamma$ (sur le web...).

Une intégration par parties devrait aussi montrer que cette fonction est une "généralisation" de la factorielle à des valeurs non entières.

En général, on ne connait pas la valeur exacte.

Roro.

Zebulor

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Re : Intégrale généralisée et calcul de limite.

Bonsoir,
indépendamment de la réponse de Roro, quelque chose m'interpelle :

La fonction $ t \mapsto \dfrac{e^{-t}}{t}$ étant intégrable sur $]0, +\infty[$

Il faut voir ce qui se passe en 0

Dernière modification par Zebulor (21-05-2023 22:43:09)

user1992

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Re : Intégrale généralisée et calcul de limite.

bonjour,

J'ai oublié l'exposant $\alpha$ au dénominateur. Soit la fonction $t \mapsto \dfrac{e^{-t}}{t^{\alpha}}$ au voisinage de $0,$ on a $\dfrac{e^{-t}}{t^{\alpha}} \sim \dfrac{1}{t^{\alpha}} \geqslant 0$ avec $\alpha \in ]0,1[$ et $\int_{0}^{1} \frac{1}{t^{\alpha}}~dt$ converge. Par comparaison, on déduit que $t \mapsto \dfrac{e^{-t}}{t^{\alpha}}$ est intégrable sur $]0,1]$

Dernière modification par user1992 (24-05-2023 13:25:52)