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user1992

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Calculs algébriques et symbole $\sum$

Bonjour,

Je n'arrive pas à justifier l'égalité suivante :

$$\sum_{0 \leqslant p+q \leqslant 2n }a_pb_q - \sum_{0 \leqslant p, q \leqslant n }a_pb_q = \sum_{0 \leqslant p+q \leqslant 2n, ~p > n }a_pb_q + \sum_{0 \leqslant p+q \leqslant 2n, ~q > n}a_pb_q $$

Je n'ai aucune idée de comment démarrer. Auriez vous une piste ?

Merci.

Extrait de Gourdon analyse ed 3, p 217

Dernière modification par user1992 (04-09-2023 17:56:16)

Glozi

Invité

Re : Calculs algébriques et symbole $\sum$

Bonjour,
Comment obtenir $0\leq p+q\leq 2n$ ? On peut choisir $0\leq p\leq n$ et $0\leq q\leq n$ ou alors, $p>n$ et $0\leq p+q\leq 2n$ ou alors $q>n$ et $0\leq p+q\leq 2n$,
il faut juste vérifier qu ces trois options couvrent bien tous les cas, et que ces trois options sont disjointes.
Bonne journée

user1992

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Re : Calculs algébriques et symbole $\sum$

Bonjour,

Merci Glozi pour ton retour. Je vois très bien le cas $0\leq p\leq n$ et $0\leq q\leq n$ car il suffit d'ajouter les deux inégalités mais je ne vois pas les deux cas  avec $p > n$ et $q > n$ puisque $p$ et $q$ sont dans $\{1, 2, \cdots, n\}.$ Il y a très certainement quelque chose qui m'échappe.

Bonne fin de journée

Zebulor

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Re : Calculs algébriques et symbole $\sum$

Bonsoir,
lorsque que $2n \ge p \gt n \ge 0$; tu peux poser $p=n+k$ où $k \in [\![1;n]\!]$. Alors $q \in [\![0;n-k]\!]$ et réciproquement pour le cas $2n \ge q \gt n \ge 0$.
Dans le premier cas pour chaque valeur de $p$ fixée tu as $n-k+1$ valeurs possibles de $q$
Dès lors avec le cas le cas $0\leq p\leq n$ et $0\leq q\leq n$ tu as tous les possibilités pour $0\leq p+q \leq 2n$

Dernière modification par Zebulor (06-09-2023 08:14:29)

Glozi

Invité

Re : Calculs algébriques et symbole $\sum$

Bonsoir,
Pourquoi est-ce que $p$ et $q$ seraient dans $\{1,2,\dots, n\}$ ? Moi je dirais qu'à priori ils sont dans $\mathbb{N}$ (voire $\mathbb{Z}$).
Bonne soirée

Zebulor

Membre expert

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Re : Calculs algébriques et symbole $\sum$

re,

Moi je dirais qu'à priori ils sont dans $\mathbb{N}$ (voire $\mathbb{Z}$).

dans $\mathbb{Z}$, je ne m'en étais pas aperçu...