Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
J'essaie de montrer qu'un endomorphisme u est simple (ie u n'a pas de sous-espaces stables non triviaux) ssi son polynôme caractéristique chi est irréductible (on se place sur un corps quelconque, et un ev de df).
J'ai montré la réciproque ; pour le sens direct je bloque :
j'ai montré que si u est simple alors chi n'a qu'un facteur irréductible : en effet, soit P un facteur irréductible divisant strictement chi, alors kerP(u) est u-stable, et non nul (autrement P n'apparaîtrait pas dans le polynôme minimal), et kerP(u) est différent de E (l'espace ambiant) car autrement si on prend Q un autre facteur irréductible de chi, kerQ(u) serait nul et donc Q n'apparaîtrait pas dans le polynômé minimal.
Mais j'arrive pas à montrer que la multiplicité du seul facteur irréductible est forcément 1.

Ah en fait en écrivant ça j'ai peut-être trouvé : si u est simple et si chi est de la forme P^k, alors le polynome minimal est égal à P (car par hypothèse de simplicité kerP(u)=E). Et là on utilise...Frobenius pour conclure que dans une certaine base u s'écrit avec k blocs, qui sont la matrice compagnon de P. Or comme u est simple u est cyclique, donc par unicité dans Frobenius il n'y a qu'un seul bloc, ie chi=P !!

Cependant je suppose qu'il y a une preuve plus directe, sans le bulldozer Frobenius, donc j'appelle à votre aide pour cela

Merci !

Bonjour,
J'étudie en ce moment la notion de produit semi-direct, et pense avoir bien compris ce dont il s'agit. Cependant, dans tous les sites/livres que j'ai consulté, si j'ai systématiquement trouvé des critères pour être produit semi-direct, je n'ai trouvé nulle part de propriétés des produits semi-directs. D'où ma question : à quoi ça sert; comment se servir d'une décomposition d'un groupe en produit semi-direct ? (je comprends bien l'idée générale : trouver une décomposition d'un groupe en produit semi-direct doit permettre de se ramener à l'étude de deux groupes plus simples ; mais comment s'en servir en pratique, je n'ai pas idée).
Je vous remercie par avance pour vos lumières !
Bien à vous.

Bonjour !

Soient X1,...,Xn des variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées, et de carrés intégrables. Notons a l'espérance de X1.
D'après la loi des grands nombres, (X1+...+Xn)/n -a tend vers 0 presque sûrement.
Ma question est la suivante : comme les variables sont de carré intégrable, a-t-on bien la convergence dans L2 vers 0 ?

(J'ai l'impression que oui, mais j'ai calculé la norme L2 et j'ai trouvé deux résultats différents qui ne m'amènent pas à la même conclusion ... : V(X1)/n et E(X1^2)/n - a^2)

Merci d'avance pour votre aide !

Bonjour !

J'ai deux questions sur la convergence uniforme.

- La convergence uniforme préserve-t-elle bien le caractère Ck, où k est un entier naturel quelconque ?

- Soit (fn) une suite de fonctions (de R dans R) convergeant uniformément vers f. Soit (an) une suite croissante convergente de réels positifs, de limite a. Supposons que pour tout n, fn est de support [0,an]. Alors peut-on montrer que f est de support [0,a] ?

Merci d'avance pour vos éclaircissements !