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Convergence uniforme

Bonjour !

J'ai deux questions sur la convergence uniforme.

- La convergence uniforme préserve-t-elle bien le caractère Ck, où k est un entier naturel quelconque ?

- Soit (fn) une suite de fonctions (de R dans R) convergeant uniformément vers f. Soit (an) une suite croissante convergente de réels positifs, de limite a. Supposons que pour tout n, fn est de support [0,an]. Alors peut-on montrer que f est de support [0,a] ?

Merci d'avance pour vos éclaircissements !

Fred

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Re : Convergence uniforme

Bonjour,

- La convergence uniforme préserve-t-elle bien le caractère Ck, où k est un entier naturel quelconque ?

Non, ce n'est pas le cas. Par exemple, les fonctions $f_n(x)=\sqrt{x+\frac 1n}$, $n\geq 1,$ sont de classe $\mathcal C^1$ sur $[0,1],$ la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $x\mapsto\sqrt x$ sur $[0,1]$ et cette dernière fonction n'est pas dérivable en $0$.

- Soit (fn) une suite de fonctions (de R dans R) convergeant uniformément vers f. Soit (an) une suite croissante convergente de réels positifs, de limite a. Supposons que pour tout n, fn est de support [0,an]. Alors peut-on montrer que f est de support [0,a] ?

On peut montrer que le support de $f$ est inclus  dans $[0,a]$, c'est-à-dire que la fonction est nulle en dehors de $[0,a]$.
Après, la fonction pourrait très bien être nulle sur $[0,a]$ aussi.

F.

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Re : Convergence uniforme

D'accord, merci beaucoup !