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Sebsheep

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Sous modules libres d’un anneau commutatif

Bonjour,

On considère un anneau A unitaire commutatif. Quels sont les sous A-modules libres de A ?

Comme la question est formulée de façon ouverte je ne suis pas sûr de ce qu’on doit trouver.

Je dirais qu’il s'agit des idéaux principaux.

En effet un sous module de A est un idéal I. S’il est libre, il est isomorphe à $A^{(K)}$ (désignant l’ensemble des tuples presque tous nuls indexés par K).

Grâce à l’injection naturelle $I \to A$, on construit alors une injection $\iota : A^{(K)} \to A$ qui est en particulier une A-application linéaire.

Supposons que K a un cardinal plus grand que 2, en prenant une restrictionde $\iota$, on peut construire $\kappa : A^2 \to A$ une injection A-lineaire.

Posons alors $x=\kappa(1,0)$ et $y=\kappa (0,1)$, non nuls par injectivite de $\kappa$.

On a donc $xy = \kappa(0,x)$ et $yx =\kappa(y,0)$. Comme A est commutatif,  on alors $\kappa(0,x)=\kappa(y,0)$. Par injectivite on a donc $x=y=0$. Contradiction.

Donc K a au plus un élément. Si K n’a pas d’élément,  I est l’idéal nul engendré par 0. Si K a un élément on peut considérer $\phi : A \to I$ un isomorphisme, ainsi I est l’idéal engendré par $\phi(1)$ .

Dans tous les cas l’idéal est principal.

Qu’en pensez vous ? Est-ce correct ? Peut-on être plus direct?

Sébastien

Dernière modification par Sebsheep (23-10-2025 08:57:03)

mathsforum

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Re : Sous modules libres d’un anneau commutatif

Salut, j'imagine que c'est un peu tard, mais :
ta réponse me semble juste (au détail près que tu as seulement montré que les sous A modules libres de A sont des idéaux principaux, et tu n'as pas regardé la réciproque), et on peut être plus rapide :
Un sous-A-module libre de A est un idéal I de A qui a une A-base : cette A-base contient au plus 1 élément, en effet deux éléments x,y de I sont forcément liés dans A (xy-yx=0) ; donc I est principal, notons a un générateur ; comme I est libre, ax =/= 0 pour tout x dans A.
Réciproquement pour tout élément a vérifiant cette condition (ie pour tout a qui n'est pas de torsion), (a) est un sous-module libre de A.