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Loi des grands nombres pour des v.a. de carrés intégrables

Bonjour !

Soient X1,...,Xn des variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées, et de carrés intégrables. Notons a l'espérance de X1.
D'après la loi des grands nombres, (X1+...+Xn)/n -a tend vers 0 presque sûrement.
Ma question est la suivante : comme les variables sont de carré intégrable, a-t-on bien la convergence dans L2 vers 0 ?

(J'ai l'impression que oui, mais j'ai calculé la norme L2 et j'ai trouvé deux résultats différents qui ne m'amènent pas à la même conclusion ... : V(X1)/n et E(X1^2)/n - a^2)

Merci d'avance pour votre aide !

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : Loi des grands nombres pour des v.a. de carrés intégrables

Bonjour,

  Pour déduire la convergence $L^2$ de la convergence presque sûre, il suffit d'appliquer le théorème de convergence dominée.
Peux-tu vérifier ses hypothèses ici?

F.