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Analyse complexe

Bonjour !

Soit f une fonction entière (=holomorphe sur C) qui n'atteint pas les valeurs -1 et 1.
Je voudrais alors montrer que :
- il existe une fonction entière g telle que f^2+g^2=1.
- il existe une fonction entière F telle que exp(ipiF)=f+ig.

- Pour la première question, on pourrait écrire g naturellement sous la forme d'une racine carrée, mais je ne sais alors pas comment on pourrait montrer que g est holomorphe. C'est sans doute parce que, puisque f n'atteint pas 1 et -1, alors 0 n'apparaît jamais sous la racine carrée, mais... ?
- Pour la deuxième question, j'ai une piste plus aboutie. On procède par analyse synthèse. On sait que exp(ipiF)(f-ig)=1, donc la dérivée de la fonction à droite est nulle, donc ..., donc F'=C*(f'-ig')/(f-ig) où C est une constante qui ne nous importe pas. On reconnait alors la dérivée du log : j'aimerais dire F=C*log(f-ig). Mais problème : le log est mal défini sur C. Mais je suis en train de me dire que toute fonction holomorphe sur C admet une primitive, donc il suffit peut-être que je dise : on prend F la primitive de C*(f'-ig')/(f-ig) qui existe bien.

Je vous saurai gré de m'apporter un petit peu d'aide...
Merci d'avance !

Glozi

Invité

Re : Analyse complexe

Bonjour,
Avec ce que tu as fait pour la deuxième question tu n'es pas loin de conclure, en fait tu peux prouver le lemme suivant :
$\textbf{Lemme : }$ Soit $f$ une fonction entière ne s'annulant pas, alors il existe une fonction entière $g$ telle que $f=e^g$.

Pour la preuve de ce lemme, tu peux effectivement procéder par analyse synthèse. Tu obtiendras que $g$ est solution du problème si $g'=\frac{f'}{f}$. Or $\frac{f'}{f}$ est entière car $f$ ne s'annule pas, et donc cela donne bien l'existence de $g$ entière telle que $g'=\frac{f'}{f}$ il s'agit ensuite simplement de choisir la bonne constante d'intégration. Cela suppose néanmoins de savoir que toute fonction entière admet une primitive entière.

Pour la question 1, tu peux alors appliquer ce lemme à $1-f^2$ qui ne s'annule pas, tu obtiendras $h$ telle que $1-f^2=e^h$ il ne devrait alors pas être trop dur de trouver $g$.
De même pour la question 2, puisque $f+ig$ ne s'annule jamais on peut encore appliquer le lemme.
Bonne journée

mathsforum

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Re : Analyse complexe

Ah oui c'est malin ça ! Merci beaucoup pour la réponse, c'est très clair