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Bonjour,
Dans le cadre d'un exo, je me pose une question:
Soit $E$ l'ensemble des fonctions $\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})$, qui sont $2\pi$ périodiques.
As t on que si $f \in E$ admet une primitive dans $E$, alors $f$ admet une 'double primitive' (une fonction F tq F"=f) dans E?

Dans l'exercice que j'essaie de faire, il faut donner l'image de l'endo $u$ de $E$ dans $E$ qui à $f$ associe $f''$. Une fonction dans $Im(u)$ est nécessairement tq l'integrale de $0$ à $2\pi$ est nulle, sinon son intégrale n'est pas bornée, et sa "double intégrale" non plus. Mais je ne sais pas si cette condition est suffisante, pour que $f$ soit dans $Im(u)$.

Bonjour,
dans la démonstration du critère d'Eisenstein du Perrin, il y a un passage où j'ai l'impression de pouvoir faire plus simple, mais je rate peut-être quelquechose.
voilà un lien: https://drive.google.com/file/d/1VJZsXh … sp=sharing
il s'agit du dernier paragraphe, où il montre que $\overline{b_0} = \overline{c_0} = 0$:
Il invoque la principalité de L[X], donc factorialité, donc unicité de décomposition en irréductible, et $X$ est irréductible, donc $X$ divise $\overline{P}$ et $\overline{Q}$.
pour montrer que $\overline{b_0} = \overline{c_0} = 0$, j'aurais envie de dire, on note $\overline{b}$,$\overline{c}$ les coefficients non nuls de plus bas degré de $\overline{P}$ et $\overline{Q}$.Par intégrité de $A/(p)$, leur produit est non nul, donc égale à $\overline{a_n}$, donc $\overline{b}$ et $\overline{c}$ sont coefficients dominants, donc $\overline{P}$ et $\overline{Q}$ sont monomes de degré > 0, donc  $\overline{b_0} = \overline{c_0} = 0$.

Ma démonstration est elle bien correcte?

Bonjour,

j'essaie de comprendre la démonstration de l'irréductibilité de $ \Phi_n$ du perrin:
https://drive.google.com/file/d/15PTYNX … sp=sharing

Je comprends la démo mais je me demande pourquoi dans la partie 2), on prend f et g des polynome minimaux de $\xi$ et $\xi^p$ dans $\mathbb{Q}$  et on montre qu'ils sont unitaire, à coeff dans $\mathbb{Z}$, donc irréductible sur $\mathbb{Z}$.
Pourquoi ne pas directement prendre les polynomes minimaux dans $\mathbb{Z}$? il y a forcément une raison mais je ne vois pas.