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aimes

Invité

Cet ensemble est il dénombrable?

Bonsoir,

" L'ensemble des fonctions f de l'ensemble des nombres naturels [tex]{\mathbb N}[/tex] vers {1,2,3} est-il dénombrable? "

Comment je peux démontrer qu'il est dénombrable (ou éventuellement pas)?

Merci en avance

agrega_sarrachles_tif

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Re : Cet ensemble est il dénombrable?

même démo que l'argument diagonal de Cantor, c'est indénombrable. Soit f une application de $\mathbb{N}$ dans cet ensemble ,alors on trouve un élément qui n'est pas dans l'image et donc ça ne peut être une surjection.

Dernière modification par agrega_sarrachles_tif (18-04-2022 12:15:26)

aimes

Invité

Re : Cet ensemble est il dénombrable?

même démo que l'argument diagonal de Cantor, c'est indénombrable. Soit f une application de cet ensemble dans $\mathbb{N}$,alors on trouve un élément qui n'est pas dans l'image et donc ça ne peut être une surjection.

Merci beaucoup de ton explication!

Michel Coste

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Re : Cet ensemble est il dénombrable?

même démo que l'argument diagonal de Cantor, c'est indénombrable. Soit f une application de cet ensemble dans $\mathbb{N}$,alors on trouve un élément qui n'est pas dans l'image et donc ça ne peut être une surjection.

Hum hum. Ça marcherait plutôt avec une application de [tex]\mathbb N[/tex] dans [tex]\{1,2,3\}^{\mathbb N}[/tex].

Tof

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Re : Cet ensemble est il dénombrable?

Bonjour,

Il y  dedans  au moins les fonctions de $\mathbb{N}$ dans $\{1,2,3\} $ dont l'image est dans $\{1,2\}$. Mais $2^{\mathbb{N} } $n'est déjà pas dénombrable puisque équipotent à l'ensemble des parties de $\mathbb{N}$.
Ou encore l'ensemble cherché est équipotent (par composée avec une bijection qui retranche 1) à l'ensemble des fonctions dans {0,1,2}, dont une partie ( celles non stationnaires  à 2 ) est en bijection l'ensemble des réels dans  [0,1[ ( représentés en base 3), non dénombrable.
Ou encore si on a une liste quelconque de telles fonctions, $(f_i)_{i  \in \mathbb{N}}$  la fonction ayant pour image de $0$ , $f_0 (0) + 1$, image de $1$, $f_1(1) + 1$ ,.... ( en posant 3+1 = 1) n'est pas dans la liste donnée ( argument diagonal) ...
Bref plein de façons de faire...

Tof

Dernière modification par Tof (18-04-2022 10:22:43)

agrega_sarrachles_tif

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Re : Cet ensemble est il dénombrable?

même démo que l'argument diagonal de Cantor, c'est indénombrable. Soit f une application de cet ensemble dans $\mathbb{N}$,alors on trouve un élément qui n'est pas dans l'image et donc ça ne peut être une surjection.

Hum hum. Ça marcherait plutôt avec une application de [tex]\mathbb N[/tex] dans [tex]\{1,2,3\}^{\mathbb N}[/tex].

euh... oui merci, c'est corrigé.