Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir samuelm,

Si tu notes [tex]P(s)=det(I+sM)[/tex] alors [tex]P[/tex] est un polynôme et [tex]P(s)=P(0)+sP'(0)+\mathcal O(s^2)[/tex].
Il "suffit" donc d'évaluer [tex]P(0)[/tex] et [tex]P'(0)[/tex].

Pour [tex]P(0)[/tex], c'est assez facile : [tex]P(0)=det (I)=1[/tex].

Pour [tex]P'(0)[/tex], une idée est d'utiliser le fait que le déterminant est n-linéaire. Ainsi, si tu notes [tex]M_i[/tex] les colonnes de [tex]M[/tex] et [tex]e_i[/tex] celles de la matrice Identité alors
[tex]P'(s) = \sum_{j} det(e_1+sM_1, ..., e_{j-1}+sM_{j-1}, M_j, e_{j+1}+sM_{j+1}, ...,e_n+sM_n)[/tex]
donc en évaluant en [tex]s=0[/tex], on obtient
[tex]P'(0) = \sum_{j} det(e_1, ..., e_{j-1}, M_j, e_{j+1}, ...,e_n) = \sum_{j} M_{jj} = Tr(M)[/tex].

Bon, je me rend compte que je ne t'ai pas vraiment aidé mais que j'ai complètement écrit une solution... dis moi si tu as tout compris !

Roro.

Bonjour samo12,

Sans trop réfléchir je dirai qu'il faut utiliser le théorème de Bezout (car (m,n)=1), et le résultat qui dit que g^n=1 si g est un élément d'un groupe d'ordre n.

Roro.

Bonjour,

Tu peux jeter un coup d'oeil ici (en gros tu fais une recherche sur google...) :

Lemme 1 page 5 sur cette page

Roro.

Bonjour,

En général, oui (en dimension 2).

Roro.

Bonsoir vrouvrou,

Je suis d'accord avec ton second exemple (point 2).
Par contre je ne comprend pas le premier : qu'est ce que A' lorsque E n'est pas un espace vectoriel ?

Roro (grillé par Fred qui a répondu pendant que j'écrivais...)

Hello,

Je viens de voir la réponse de Fred. Je n'avais même pas vu l'erreur et j'allais répondre qu'il serait peut être intéressant d'utiliser les sommes de Riemann.

Etant donnée la réponse finale, c'est sans doute plus simple d'encadrer comme le propose Mouhcine (sans faire d'erreur).

Roro.

Bonsoir,

Non, on peut avoir deux limites différentes si les normes ne sont pas équivalentes.

Par exemple : si [tex]E=\mathbb R[X][/tex] alors pour tout  [tex]\lambda \in \mathbb R[/tex] tu peux définir la norme suivante
[tex]\|P\| = \sup_{k\in \mathbb N} \frac{|a_k|}{2^k}[/tex] où [tex]P=\sum_k a_k e_k[/tex], la famille [tex]e_k[/tex] étant la base définie par [tex]e_0=1[/tex] et [tex]e_k=X^k-\lambda[/tex] si [tex]k>0[/tex] (vérifie que c'est une norme pour n'importe quel choix de [tex]\lambda[/tex]).

Tu peux ensuite vérifier que la suite [tex](X^n)_{n\in \mathbb N}[/tex] converge vers [tex]\lambda[/tex] pour cette norme.

Roro.

Bonjour,

S'il y a vraiment des trucs que je n'aime pas, ce sont ces types de "jeux" (c'est peut être parce que je ne suis pas bon !).
En tant que bon mathématicien, je ne peux pas m'empécher de penser que toutes les solutions peuvent être bonnes. Evidemment dans les cas "simples", la solution est "évidente" et tout le monde s'accorde à dire que c'est "LA" solution... Mais dès que ça devient plus complexe, je ne vois pas l'intérêt.

Pour être plus précis, je vais donner une réponse (de Normand) à l'exemple précis donné par Fromage :

En prenant les graphiques donnés par son lien, on peut imaginer qu'à chaque fois, la case centrale en vert est une combinaison linéaire des quatre valeurs l'entourant : par exemple 39 = 8a+3b+c+7d. Il faudrait donc trouver a, b, c et d pour que les trois premiers carrés soient vérifiés (évidemment j'aurai pu chercher une solution non linéaire avec encore plus de paramètres, et donc plus de degré de liberté). Si à la place de ? on met à peu près n'importe quelle valeur, je pense qu'on déterminera de façon unique (a,b,c,d).

Roro.

En fait cette définition est indépendante de la base dans laquelle est écrite cette matrice : si deux matrices sont semblables alors elles on la même trace (en gros Tr(AB) = Tr(BA)...).

En écrivant ta matrice dans une base adaptée, les éléments de la diagonale correspondent aux valeurs propres, et tu en déduis le résultat que tu annonces.

Roro.

Finalement, ta question devient : pour quelles valeurs de [tex]\lambda \in \mathbb C[/tex] la fonction [tex]\xi \mapsto \frac{|\xi|^2}{|\xi|^2+ \lambda}[/tex] est-elle bornée sur [tex]\mathbb R[/tex] ?

Celle-ci n'est pas trop compliquée...

Roro.

Bonjour,

Ce que dis Fred, c'est que justement tu ne peux pas trouver directement la dimension de l'espace propre avec seulement la multiplicité dans le polynôme caractéristique? Ca te donne juste une borne.

Tu peux penser aux deux exemples suivants (les plus simples que j'ai trouvé) :
[tex]A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}[/tex] et [tex]B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}[/tex]

Roro.

Oui... et que vaut [tex]\widehat f[/tex] en fonction de [tex]\widehat g[/tex] ? Comment se traduit de façon plus simple [tex]\widehat f \in \mathcal F(H^2)[/tex] ?

Roro.