Forum de mathématiques - Bibm@th.net

re.

   j'ai supprimé ma réponse en 3 bandes et je continue à chercher.

re

     Nérosson,  dans ton exemple tu décris bien  2 bandes , la boule B , 2 bandes et enfin la boule C .

       donc je m'en tiens à ma première solution et j'arète là.

Bonjour à tous.

                     Mais qui touche la blanche pointée ? la rouge ou la blanche ?

                     si c'est la rouge , cela signifie qu'elle prend le relai par le principe action réaction sans effet

                     et va toucher à son tour la blanche pointée.

                     J'ai bien utilisé le principe de réflexion de la lumière. mais si j'attaque à 34.99° sur une grande

                     bande, j'attaque avec l'angle complémentaire une petite bande. Mes trajectoires sont donc 2

                     familles de parallèles .  3  à  (180°-34.99°)  et 2 à  34.99°

bonsoir.

              Il est vrai que tous les polyèdres convexes réguliers et irréguliers à faces triangulaires sont

              mathématiquement indéformables  .

              Il faudrait que je retrouve ce polyèdre concave à faces triangulaires qui possède un léger degré

              de liberté  . je l'ai fabriqué il y a une vingtaine d'année . mais je ne sais plus ou il est.

               J'avais du voir ça dans un "pour la science" ou un " ça m'intéresse".

Bonjour.

            @ Totomm  si tu as utilisé une CAO , tu dois avoir la bonne réponse .

               Et tu vas comprendre pourquoi.
 
              Je n'ai percuté que ce matin  . Normalement _ et je ne vais pas reconter _ il y a 3 familles

                de couche, donc 3 familles de cercle

        Si j'appelle  le niveau 0 le cercle dia. 140 , alors les 3 familles de cercles seront définies comme ceci

         famille A         -6 , -3 ,   0 , 3 , 6       centrés à l'origine

         famille B      -8  , -5 , -2 ,  1  ,  4 ,  7          translation suivant le vecteur [tex](0 , \frac{10.\sqrt{3}}{3})[/tex]

         famille C      -7 , -4 , -1 , 2  , 5  , 8             translation suivant le vecteur [tex](10.\frac{\sqrt{3}\times\cos(\frac{\pi}{6})}{3} , 10. \frac{\sqrt{3}\times\sin(\frac{\pi}{6})}{3})[/tex]

        Maintenant  , le ratio en question , il y a peut-etre plusieurs façons de le calculer

        Le ratio surfacique équivaut à un empilement de cylindres  D=1  H=1  dont le ratio vaut   [tex]\frac{\pi}{2.\sqrt{3}}[/tex]

         inscrite dans le cylindre il y a la sphère dont le rapport de volume  Sphere/cylindre est [tex]\frac{2}{3}[/tex]

         Ensuite le pas d'empilage des couches cylindriques étant  [tex]1[/tex] et celui des couches spèriques

        étant[tex]\sqrt{\frac{2}{3}}[/tex] alors le ratio d'occupation des sphères s'écrit:

         [tex]\frac{\pi}{2.\sqrt{3}}\times\frac{\frac{2}{3}}{\sqrt\frac{2}{3}} = \frac{\pi}{3.\sqrt{2}}\approx  0.74048[/tex]

re 
            L'unité sera le mm.
       
        je considère la sphère des centres  de diamètre [tex]140  mm[/tex]-- c-a-d  la sphère qui doit

        contenir tous les centre des billes de la spère de diamètre [tex]150  mm[/tex]

        cette sphère est centrée à l'origine de mon repère [tex]Ox,Oy,Oz[/tex]

        sur le plan horizontal [tex]Ox,Oy[/tex] je place , centré en O un triangle équilatéral de coté 10 mm.

        sur ce plan , qui sera mon premier niveau ou niveau impair. je trace 3 droites passant par O ,

        la première à 0° , la seconde à 60°  et la  troisième à 120°  et elles traverse mon cercle.

        Ensuite je mène toutes les parallèles à ces 3 droites au pas de 8.66 afin  de compter tous les points

        d'intersection qui sont les centre des billes de ce premier niveau .

        Après , au pas de  [tex]10\times{ \sqrt{\frac{2}{3}}}  \approx 8.1649 mm[/tex] qui est la hauteur du tétraèdre d'arète 10 mm je trace tous les cercles    horizontaux dont les centres sont sur l'axe Oz . ces cercles ont pour diamètre

       140  --     139.044  -  136.137 --  131.149  -  123.828  --  113.725  -  100  -- 80.828  et 50.331

         1               2               3               4                5                6             7           8              9

je fais ensuite translater les cercles pairs de [tex]10\times\frac{\sqrt{3}}{3} = 5.7733333     suivant  Y^+[/tex]

      tous ces cercles sauf le diametre 140  ont leur symétrique/ au plan XOY

      maintenant il reste à compter sur tous les niveaux les intersections situées sur et à l'intérieur de ces

      cercles.  Mais on peut en oublier 1 ou 2 je vous l'accorde.

re.
         le meme empilement avec une sphère de [tex]\emptyset  13.5 cm[/tex] donne environ 1348 billes.

         les surfaces enveloppes  .  si on fabrique une première couche sur la paroi interne de la sphère on

          ne peut pas optimiser parce qu'il y aura des trous partout. la surface sphèrique n'étant pas

          développable. on peut peut-etre empiler des tétraedres puis ajouter des triangles sur les faces du

          plus grand tétraèdre jusqu'au remplissage.

re.

     On optimise avec un premier niveau ou la densité surfacique est: [tex]\frac{\pi}{2.\sqrt{3}}[/tex]

      puis on duplique la meme couche que l'on dépose dans les creux et le décalage est [tex]\sqrt{\frac{2}{3}}[/tex]

  on obtient une densité volumique de [tex]\frac{\pi}{2.\sqrt{3}}\times{\sqrt{\frac{2}{3}}} \approx 0.74048[/tex]

          on dispose donc 4 billes en formant un  tétraèdre avec leur centre.

bonjour a tous.

                   Voilà, vous avez effectivement donné la bonne réponse.

                   Moi je l'ai calculée ainsi.
                                                      - première phase. calcul de la surface du carreau avec par exemple

                   (et je ne vais en détailler qu'un car pour l'autre c'est le meme mode d'emploi.

                     soit [tex]   a  ,  b  ,  c   [/tex]  les cotés d'un triangle et [tex]  p [/tex] son périmètre.

                   La formule de Héron  nous donne son aire.

                  [tex]    S_1  =  \sqrt{\frac{p}{2}\times(\frac{p}{2}-a)\times(\frac{p}{2}-b)\times(\frac{p}{2}-c)}[/tex] donne donc  :

                                    [tex]   S_1  =  9225.2011  [/tex] pour le triangle ADC

                                    [tex]   S_2  =  15351.6747 [/tex] pour le triangle ABC

                 donc  [tex]  S  =  S_1  +  S_2  =  24576.8758   [/tex]  pourla surface du carreau.

                                                        - 2ème phase:  calcul des 4 angles du carreau:

                  D'après Al Kashi , l'angle [tex] \widehat{A }  [/tex]  étant opposé au coté  [tex] a [/tex]

                  Alors [tex] \widehat{A}  =  \arccos{\left[\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right]}[/tex]

                  Ce qui donne en définitif [tex] \widehat{A} \approx 1.51974  rad\;\;    \widehat{B} \approx  1.35273  rad[/tex]

                                                      [tex] \widehat{C} \approx  1.55956 rad.  \;\;et\;\;\widehat{D} \approx  1.85115 rad.[/tex]

                                                        - 3ème phase.   la couronne de largeur [tex] R [/tex] est en fait

                 une succession de 4 trapèzes ayant pour cotés communs les 4 bissectrices des angles calculés

                du  carreau qui , assemblé bout à bout , et en retournant le second et le dernier , donne au

                final un parallèlogramme  de hauteur [tex] R [/tex] et de base:

                [tex]  P  -  R\times\left[\tan\frac{\pi-\widehat{a}}{2} + \tan\frac{\pi - \widehat{B}}{2} + \tan\frac{\pi - \widehat{C}}{2} + \tan\frac{\pi - \widehat{D}}{2}\right][/tex]

                 La somme des 4 lignes tangentes donne approximativement  [tex] F = 4.06224[/tex]

                 d'ou  [tex]  \frac{S}{2} =  P\times{R} - F\times{R^2}[/tex]

                 ce qui donne l'équation du second degré en prenant les valeurs

                 [tex]   4.06224.R^2  -  636.5508.R  + 12288.4379  =  0[/tex] donne au final

                 [tex]   R \approx 22.5497[/tex] Donc un diamètre de 45.1 mm au1/10ème près

re

        c'est exactement la meme . tu viens de l'appliquer car 4R  ça s'applique aux carrés et rectangles.

         alors maintenant il faut généraliser mais ça demande un peu plus de calculs . car il y a peut-etre

         une astuce.

bonsoir a tous.

                     Pour répondre a Dillon: 
                                                        Tu as peut-etre remarqué que je n'ai peu utiliser qu'un nombre
                     limité d'entiers pour construire mon quadrilatére . Aussi est ce pour cela que , pour éviter
                     d'avoir à calculer le dernier segment AB  , je l'ai directement rajouté dans les données
                     avec 4 décimales.

                     pour répondre à Nérosson, tu fais tourner ton carreau 4 fois de 180° autour de chacun
                     des milieux des cotés du carreau et tu a ton carrelage.
                     Théorème de Varignon je crois : les 4 petites médianes forment un parallèlogramme.