Pile ou face

jpp · 29-03-2011 19:22:37

bonsoir.

Voilà. Je possède une pièce carrelée . Elle est assez originale , parce que les carreaux ont été

fabriqués spécialement pour rompre un peu la monotonie. ces carreaux sont tous identiques

et fabriqué avec une infinie precision si bien que les joints ont une épaisseur quasi nulle.

la définition du carrelage est la suivante:

UN quadrilatère [tex] ABCD [/tex] dont les diagonales sont égales [tex] AC = DB = 225 mm[/tex]

les cotés [tex] AB = 196.5508 mm BC = CD = 160 mm et DA = 120 mm[/tex].

Le jeu consiste à jouer à pile ou face sur le sol , mais un joueur choisit impérativement de couvrir

au moins un joint et l'autre doit impérativement éviter tout joint.

Question : au dixième de mm près qu'elle doit etre le diamètre de ma pièce pour que le jeu

soit équitable ? bon courage.

freddy · 30-03-2011 09:48:17

Salut,

sans faire de calcul pour l'instant, je pense que par équitable, tu veux dire :

1 - il faut que la surface du disque à l'intérieur d'un carreau soit égale à la moitié de la surface du carreau ;

2 - et que la surface du disque dont le centre serait sur chaque sommet du quadrilatère soit aussi égale à la moitié de la somme des 4 surfaces de chaque quadrilatère intersecté ?

Dillon · 30-03-2011 13:03:03

Bonjour à tous

Je crois plutôt qu'il faut que la surface qui reste dans un carreau quand on l'a privé sur tout son périmètre d'une bande dont la largeur est égale au rayon de la pièce (ouf !) soit égale à la moitié de la surface d'un carreau.

edit: j'ai remplacé diamètre par rayon

Deux questions jpp :
1 - J'ai l'impression qu'il y a une donnée de trop pour définir un carreau. Je n'ai pas fait le calcul, mais je doute que les nombres soient strictement cohérents. Si les carreaux sont fabriqués avec une "infinie précision", il faudrait retirer une des données (AB ?) de l'énoncé.
2 - Comment disposes-tu tes carreaux ? J'ai aussi un doute sur la possibilité de paver le plan avec ce quadrilatère

Dernière modification par Dillon (31-03-2011 10:16:14)

nerosson · 30-03-2011 15:38:49

Bonjour,

D'après les données numériques fournies, je me suis amusé à faire un schéma (à l'échelle) d'un carreau. Ca donne ceci :

Est-ce qu'un matheux de haut-vol pourrait me dire s'il est possible de juxtaposer de façon rigoureusement jointive de tels carreaux ?

Il me semble que si je proposais ça à une abeille pour faire ses alvéoles, elle me foutrait son pied au c...

A part ça, Yoshi, ça colle mon dessin ? Pas trop lourd ? Figure-toi que j'ai perdu tes notes.

Dillon, tu as raison : il me semble aussi qu'une donnée est superfétatoire, Mais après exécution du dessin, elles me paraissent toutes parfaitement adéquates

Dernière modification par nerosson (30-03-2011 16:01:37)

jpp · 30-03-2011 17:17:32

bonsoir a tous.

Pour répondre a Dillon:
Tu as peut-etre remarqué que je n'ai peu utiliser qu'un nombre
limité d'entiers pour construire mon quadrilatére . Aussi est ce pour cela que , pour éviter
d'avoir à calculer le dernier segment AB , je l'ai directement rajouté dans les données
avec 4 décimales.

pour répondre à Nérosson, tu fais tourner ton carreau 4 fois de 180° autour de chacun
des milieux des cotés du carreau et tu a ton carrelage.
Théorème de Varignon je crois : les 4 petites médianes forment un parallèlogramme.

Dernière modification par jpp (30-03-2011 17:18:18)

totomm · 30-03-2011 18:21:28

Bonjour,

bien sûr on peut paver tout le plan

Soit ABCD tel que montré post #4 : Pivoter une copie à à 180°, faire coïncider BA avec AB
Translater une copie Suivant le vecteur DB,
Pivoter une copie de 180° et faire coïncider CB avec BC
Le pavé originel avec les 3 copies forme un grand pavé qui pave tout le plan par simple translation...

Cordialement

Dillon · 30-03-2011 20:27:34

Bonsoir

Merci pour les explications sur le pavage. Ça ne me semblait pas évident du tout.
Pour la longueur de AB, les autres côtés étant fixés, c'est

[tex]\sqrt{{\left(\frac{6125}{32}\right)}^{2}+{\left(\frac{5}{64}\right)}^{2} \times \left(6372446-90\times\sqrt{4512027641}\right)}[/tex]
Dommage que ce ne soit pas la question

totomm · 31-03-2011 12:20:05

Bonjour,

Pour donner une réponse approximative mais j'espère suffisante,
je reprends :

Dillon a écrit :

Je crois plutôt qu'il faut que la surface qui reste dans un carreau quand on l'a privé sur tout son périmètre d'une bande dont la largeur est égale au rayon de la pièce (ouf !) soit égale à la moitié de la surface d'un carreau.

et j'assimile ABCD à un carré dont l'aire est 24576,873071 donc le coté C = 156,770128
Un carré interne d'aire moitié aurait un coté c = 110,8532207

Ma réponse est donc (approximative) : le rayon de la pièce est 22,96 donc son diamètre autour de 46.

Peut-être jpp a-t-il une formule canon plus précise pour déterminer la couronne suggérée par Dillon ?

Cordialement

jpp · 31-03-2011 17:26:51

Bonsoir.

Il y a effectivement une méthode de calcul qui donne la solution dont la précision est fonction

de l'approximation des termes calculés . donc je ne peux pas retenir la méthode du carré à surface

équivalente ; car si j'aplatis mon polygone on peut abandonner la méthode du carré.

Dernière modification par jpp (31-03-2011 17:27:23)

totomm · 31-03-2011 18:15:35

Bonsoir,

il y a toujours des approximations meilleures que d'autres en fonction des figures.

Une autre façon d'approximer est de supposer un rayon R et
une aire le long du périmètre P = 636.55 telle que (P-(4*R))*R = 1/2 de l'aire totale
On obtient ainsi R= 22,48 donc un diamètre de 45 environ

Cette approximation est-elle meilleure que celle du carré ? pas certain....

Cordialement

jpp · 31-03-2011 18:37:57

re

c'est exactement la meme . tu viens de l'appliquer car 4R ça s'applique aux carrés et rectangles.

alors maintenant il faut généraliser mais ça demande un peu plus de calculs . car il y a peut-etre

une astuce.

totomm · 31-03-2011 21:24:59

Bonsoir,

Rayon = 22,5497
C'est un calcul sans autre approximation que le flottant double

Cordialement

jpp · 31-03-2011 21:55:50

re.

comment calculer cette largeur de bande avec les 4 cotés et les 2 diagonales en se disant que la surface
du profil paralléle est la moitié de celle du pavé , donc égale à celle de la bande latérale de largeur R
qui est le rayon de la pièce ?

on connait la surface de cette bande et R est sa largeur. P est le périmètre du pavé. et

[tex] S = \{ P - f(R)\}\times{R}[/tex]

Dernière modification par jpp (31-03-2011 21:59:24)

Dillon · 31-03-2011 22:57:36

Bonsoir

Rayon = 22.54972444725108210234895552275
calculs intermédiaires faits avec 50 chiffres après la virgule, avec l'extension BCMath de PHP.

Méthode très laborieuse :

J'ai d'abord calculé les coordonnées des 4 sommets du carreau, en fixant (très arbitrairement) C à l'origine du repère et D le long de l'axe des x côté positif, A et B dans le demi-plan des y positifs.

J'ai ensuite calculé les positions des 4 parallèles aux bords du carreau, à une distance donnée.
Puis les intersections de ces 4 parallèles -> les 4 sommets du polygone -> la surface

Ensuite, on (enfin, le programme) s'approche de la solution par dichotomie.

La formule donnée par jpp suggère qu'il aurait sans doute été plus simple de "déplier" le périmètre, et de retirer les petits triangles qui manquent dans les coins. Trop tard pour que j'y réfléchisse ce soir.

totomm · 01-04-2011 06:51:48

Bonjour,

Calcul (assez simple) sous EXCEL (ou classeur Open Office)
Partant de la figure de nerosson post #4 avec B à l'origine et D sur l'axe des x
Calcul des coordonnées de A et C et de la longueur AB
D'où la surface totale
Puis intersection des parallèles (à distance R des cotés) avec BD (l'axe des x)
D'où les coordonnées des 4 sommets du demi-carreau interne et les longueurs de ses cotés
Puis ajustement de R avec le "solveur" (Recherche de cible…)
En se limitant à une précision de 4 décimales en final (post #12 R=22.5497)

Mais très impressionné par la précision des calculs de DILLON (post #14) tout en restant ouvert à l'explication de ses calculs par jpp…

J'aimerais les conseils de DILLON sur l'utilisation de PHP : Ce que l'on peut en faire,
Ce que PHP peut apporter à un "amateur" qui n'a utilisé que la programmation classique (Vbasic, C, C++, C#, Python…) et les bases de données sous MS ACCESS,
Si les logiciels nécessaires sont gratuits …?

Merci d'avance. Cordialement

Dillon · 01-04-2011 08:59:10

Bonjour

->totomm
finalement, nous avons fait à peu près la même chose. Mais si c'est facile dans le principe (je n'ai jamais rien utilisé de plus compliqué que Pythagore), j'ai trouvé ça laborieux dans la mise en oeuvre.
Il y a quand même un point que je ne comprends pas :

Puis intersection des parallèles (à distance R des cotés) avec BD (l'axe des x)

Pourquoi l'intersection avec BD ? Ce sont les intersections des parallèles (!) 2 à 2 qui déterminent les sommets du demi-carreau. Y a-t-il une astuce qui m'aurait échappé de ce côté ?

[HS] concernant le PHP
Il n'y a pas grand mérite à sortir beaucoup de chiffres quand c'est une bibliothèque de fonctions qui les calcule. Je préfère nettement ma formule du post #7, qui est rigoureuse.
Je crois que Python ou C feraient aussi bien l'affaire, il existe des bibliothèques de calcul en précision arbitraire pour ces langages.
PHP n'est pas initialement destiné à faire des calculs, il est prévu avant tout pour créer (dynamiquement) des pages web. Il dispose (dès la version standard) de très nombreuses bibliothèques de fonctions.
Je l'ai utilisé parce que je l'ai sous la main, c'est tout. PHP et tout ce dont on a besoin pour développer avec est gratuit et facile à trouver. Il y a de très nombreux sites qui en parlent.
Si tu n'as pas l'intention de créer de site web, il ne t'apportera rien puisque tu connais déjà plusieurs langages, sauf peut-être la satisfaction d'en ajouter un à ta collection :)

totomm · 01-04-2011 09:37:08

reBonjour,

@DILLON : Merci pour les renseignements sur PHP qui me conviennent tout à fait.

Dans mes calculs, B est l'origine et BD l'axe des x
Ayant les coordonnées des 4 sommets, j'ai la "pente a" de chacun des cotés
Pour l'équation y=a*x+b des parallèles à distance R des cotés, il ne me manque que b
exemple : Si A à pour coordonnées X,Y
la parallèle au coté AB coupera l'axe des x (BD) en x=R*X/Y
J'ai donc facilement les équations des 4 cotés du quadrilatère interne et facilement les coordonnées des sommets et leurs distances...

Cordialement

Dillon · 01-04-2011 10:47:19

Re aussi

D'accord, je vois maintenant à quoi servent ces intersections.
J'ai été beaucoup plus tordu que ça, mais un petit peu plus général. Je n'ai pas travaillé avec des équations ax+b, qui ont une fâcheuse tendance à provoquer des approximations grossières ou des débordements de capacité pour les droites presque parallèles à Oy. Même si ici, avec des données numérique et dans ton repère, le problème ne se posait pas.
J'ai toujours représenté une droite dans mes calculs et mon programme par deux points, comme il est naturel (?) en géométrie.
Pour avoir une parallèle à AB à la distance D, je calcule les translatés de A et B dans une direction perpendiculaire à AB. J'obtiens deux nouveaux points qui définissent la parallèle.
L'intérêt est que la faisabilité (et la précision ?) des calculs ne dépend pas de l'orientation des droites par rapport au repère.

Au fond, jpp n'a toujours pas dit s'il était d'accord.

jpp · 01-04-2011 13:26:48

bonjour a tous.

Voilà, vous avez effectivement donné la bonne réponse.

Moi je l'ai calculée ainsi.
- première phase. calcul de la surface du carreau avec par exemple

(et je ne vais en détailler qu'un car pour l'autre c'est le meme mode d'emploi.

soit [tex] a , b , c [/tex] les cotés d'un triangle et [tex] p [/tex] son périmètre.

La formule de Héron nous donne son aire.

[tex] S_1 = \sqrt{\frac{p}{2}\times(\frac{p}{2}-a)\times(\frac{p}{2}-b)\times(\frac{p}{2}-c)}[/tex] donne donc :

[tex] S_1 = 9225.2011 [/tex] pour le triangle ADC

[tex] S_2 = 15351.6747 [/tex] pour le triangle ABC

donc [tex] S = S_1 + S_2 = 24576.8758 [/tex] pourla surface du carreau.

- 2ème phase: calcul des 4 angles du carreau:

D'après Al Kashi , l'angle [tex] \widehat{A } [/tex] étant opposé au coté [tex] a [/tex]

Alors [tex] \widehat{A} = \arccos{\left[\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right]}[/tex]

Ce qui donne en définitif [tex] \widehat{A} \approx 1.51974 rad\;\; \widehat{B} \approx 1.35273 rad[/tex]

[tex] \widehat{C} \approx 1.55956 rad. \;\;et\;\;\widehat{D} \approx 1.85115 rad.[/tex]

- 3ème phase. la couronne de largeur [tex] R [/tex] est en fait

une succession de 4 trapèzes ayant pour cotés communs les 4 bissectrices des angles calculés

du carreau qui , assemblé bout à bout , et en retournant le second et le dernier , donne au

final un parallèlogramme de hauteur [tex] R [/tex] et de base:

[tex] P - R\times\left[\tan\frac{\pi-\widehat{a}}{2} + \tan\frac{\pi - \widehat{B}}{2} + \tan\frac{\pi - \widehat{C}}{2} + \tan\frac{\pi - \widehat{D}}{2}\right][/tex]

La somme des 4 lignes tangentes donne approximativement [tex] F = 4.06224[/tex]

d'ou [tex] \frac{S}{2} = P\times{R} - F\times{R^2}[/tex]

ce qui donne l'équation du second degré en prenant les valeurs

[tex] 4.06224.R^2 - 636.5508.R + 12288.4379 = 0[/tex] donne au final

[tex] R \approx 22.5497[/tex] Donc un diamètre de 45.1 mm au1/10ème près

Dernière modification par jpp (20-11-2011 09:03:32)

totomm · 01-04-2011 14:14:03

Bonjour,

Merci @ jpp pour ce problème, car il conduit à une réflexion sur le traitement par programme d'une solution.

la méthode des trapèzes est astucieuse, car elle tient compte d'un fait géométrique simple : les sommets du polygone intérieur sont sur les bissectrices des angles du polygone extérieur. Mais elle demande un traitement trigonométrique particulier.

Les deux autres méthodes utilisent mieux l'approche "objet" : points, droites,cercles avec des méthodes "standardisables" : intersections, distances, translation...
L'approche DILLON est plus générale donc peu vulnérable aux cas particuliers.
L'approche totomm utilise toujours l'approche "objet" et méthodes réutilisables, mais en simplifiant car le cas le permet...

A chacun de se faire sa philosophie, pourvu que le résultat soit juste !

Cordialement

Dillon · 01-04-2011 23:11:18

Bonsoir

La solution de jpp a l'immense mérite, par rapport aux nôtres, de donner une relation (finalement assez simple) qui donne explicitement le résultat. Alors que mon approche et celle de totomm se terminent par des approximations successives.
Mais heureusement que je n'ai pas pensé à cette méthode, ma bibliothèque BCMath n'a pas de fonctions trigonométriques et je n'aurais pas pu l'utiliser. Ou alors, il aurait fallu que je retrouve les tangentes dont on a besoin à partir des coordonnées des points, ce qui était bien sûr faisable, mais sans soute guère moins laborieux que ce que j'ai fait.

totomm · 02-04-2011 11:01:59

Bonjour,

D'accord pour le mérite...y compris sans passer par les angles car la tangente se calcule d'après le cosinus
Ci-dessous le pavage...

totomm · 03-04-2011 09:43:17

Bonjour,

REMARQUABLE :
Alors que jpp donne la formule pour la surface d'un triangle ABC

[tex]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex] avec p = demi-périmètre

Chacun des facteur tangente de sa formule F vaut :

[tex]\frac{1}{\tan{\frac{\widehat{A}}{2}}}=\sqrt{\frac{p(p-a)}{(p-b)(p-c)}}[/tex] avec p = demi-périmètre

Cordialement

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 29-03-2011 19:22:37

Pile ou face

#2 30-03-2011 09:48:17

Re : Pile ou face

#3 30-03-2011 13:03:03

Re : Pile ou face

#4 30-03-2011 15:38:49

Re : Pile ou face

#5 30-03-2011 17:17:32

Re : Pile ou face

#6 30-03-2011 18:21:28

Re : Pile ou face

#7 30-03-2011 20:27:34

Re : Pile ou face

#8 31-03-2011 12:20:05

Re : Pile ou face

#9 31-03-2011 17:26:51

Re : Pile ou face

#10 31-03-2011 18:15:35

Re : Pile ou face

#11 31-03-2011 18:37:57

Re : Pile ou face

#12 31-03-2011 21:24:59

Re : Pile ou face

#13 31-03-2011 21:55:50

Re : Pile ou face

#14 31-03-2011 22:57:36

Re : Pile ou face

#15 01-04-2011 06:51:48

Re : Pile ou face

#16 01-04-2011 08:59:10

Re : Pile ou face

#17 01-04-2011 09:37:08

Re : Pile ou face

#18 01-04-2011 10:47:19

Re : Pile ou face

#19 01-04-2011 13:26:48

Re : Pile ou face

#20 01-04-2011 14:14:03

Re : Pile ou face

#21 01-04-2011 23:11:18

Re : Pile ou face

#22 02-04-2011 11:01:59

Re : Pile ou face

#23 03-04-2011 09:43:17

Re : Pile ou face

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