Forum de mathématiques - Bibm@th.net
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#6526 Re : Entraide (collège-lycée) » Rationnels. [Résolu] » 07-08-2007 21:01:20
Salut,
En fait, le vrai problème qu'il y a ici, c'est comment définir IR....
Au tout début, il y a les entiers naturels... ca ce n'est pas trop dur à définir,
à partir de 0 et de la notion de successeur par exemple (voir par exemple Peano sur le site).
Ensuite, on définit les entiers relatifs. Pas trop dur non, on symétrise pour l'addition.
Après, on définit les rationnels. C'est toujours la même idée de symétrisation, mais
cette fois pour la multiplication. Le seul point auquel il faut prendre garde est que 1/2=2/4.
Mais ensuite, qu'est-ce qu'un nombre réel???? Pour répondre à la question initiale de John,
on a besoin de définir un nombre réel. Il y a plusieurs possibilités :
*par les coupures de Dedekind,
*par les suites de Cauchy,
*en admettant, comme on le fait en général en première année après le bac,
l'existence d'un unique ensemble ayant certaines propriétés (la plus importante
pour l'analyse est celle de la borne supérieure).
Dans les 3 cas, il n'est pas dur de donner une réponse à la question de John.
Une remarque : la construction des entiers ou des rationnels est purement algébrique.
En gros, on peut construire le corps des fractions d'un anneau. L'analyse apparait dans
la construction des réels.
Quel bouquin lis-tu John??? Ca me semble bien hardi pour débuter en topologie???
Fred (de retour, mais sans doute par intermittence!).
#6527 Café mathématique » Mise à jour... » 13-07-2007 22:45:14
- Fred
- Réponses : 5
Bonjour,
En ces temps de vacances, on travaille sans doute moins l'aspect "utilitaire" des mathématiques.
Mais ce n'est pas une raison pour arrêter de réfléchir. Je viens de mettre dans la
rubrique Maths au quotidien 3 nouveaux
articles qui donnent matière à réflexion sur l'importance des mathématiques et plus généralement
des sciences dans la vie. Le premier notamment, concernant le nombre de voix que chaque pays
doit avoir au conseil Européen, devrait intéresser notre probabiliste!
Pour moi, c'est la quille!
Fred.
#6528 Re : Café mathématique » Complément dans "jeux mathématiques » 07-07-2007 21:13:54
Salut,
L'erreur n'est pas de Cleopatre, mais de moi il y a bien longtemps!
J'ai fait la correction.
Cleopatre n'a pas acces au répertoire "jeux" mais au répertoire "cleo" http://www.bibmath.net/cleo
qui en est une copie. Pendant que je suis absent, elle va continuer à mettre à jour
les énigmes du forum (il y en a de nouvelles, j'ai vu...), et travailler aussi sur quelques
autres petits projets.
Fred.
#6529 Re : Café mathématique » Complément dans "jeux mathématiques » 07-07-2007 13:53:52
Voilà, j'ai mis en ligne une première version du travail de Cleopatre...
A suivre, bien entendu, il y a toujours de nouvelles énigmes qui sont publiées...
#6530 Re : Café mathématique » Complément dans "jeux mathématiques » 05-07-2007 12:38:23
Je n'ai pas le temps de lire les détails. Comme tu as corrigé ce que je t'avais demandé, ca me convient,
mais je vais encore un peu attendre les réactions avant de tout mettre en ligne.
Quelques additifs :
*"Nombre à neuf chiffres" : as-tu une explication mathématique pour trouver un tel nombre, ou bien est-ce simplement en faisant tourner un programme comme précisé sur le forum. Tu devrais ajouter un mot là-dessus.
* "Arnaques au craps": il y a encore des "parie" avec un "e" en trop et des "sorti" sans "e" final. Je ne vois pas ce qu'est "r" dans la correction. Complète "prob obtenir" en "probabilité d'obtenir"...
Fred.
#6531 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Enigme : 90=91 ??? » 05-07-2007 12:38:13
Ca me semble parfait pour la page faux.php3
A condition de trouver l'erreur!
Fred.
#6532 Re : Café mathématique » Complément dans "jeux mathématiques » 04-07-2007 22:14:38
En fait, le problème de l'embauche chez Microsoft est "trop dur" avec le mot "en moyenne".
Je propose plutôt de donner la version originale de l'énigme, en remplaçant l'expression "en moyenne"
par "dans le pire des cas", et en proposant la solution suivante :
Soit k_1 l'étage auquel on lance la première boule.
* Si elle casse, il faudra tester tous les étages de 1 en 1 à partir du premier, jusque, au pire, le (k_1-1)-ième.
Ainsi, on réalise dans ce cas au pire k_1 lancers.
* Si elle ne casse pas, on la lance de l'étage k_1+k_2. Si elle casse, il faut tester tous les étages de 1 en 1 à partir de k+1, soit au pire on réalise au pire k_2-k_1+1 lancers (ne pas oublier le premier).
Par symétrie, le cas optimal est réalisé si k_1=k_2-k_1+1, soit k_2=k_1+(k_1-1).
Ainsi, si on lance la première fois du k-ième étage, on lancera la 2ème fois du k+(k-1) ième étage, la troisième fois du k+(k-1)+(k-2) ième etc...
Il faut déterminer k qui donne le nombre d'essais dans le pire des cas. C'est le plus petit entier
tel que k+(k-1)+(k-2)+...+1>=100. D'après la formule pour calculer la somme des premiers entiers,
k est le plus petit entier tel que k(k+1)/2 >=100. On trouve k=14.
Ainsi, il faut au pire 14 essais.
Pour l'anecdote, les gens chargés de l'embauche chez Microsoft proposaient de lancer la première fois du 10ème étage, la 2nde fois du 20è, etc... Dans le pire des cas, cela fait 19 essais!
*******************************************************************
Comme je suis très exigeant, change microsoft en Microsoft dans le titre.
Nous attendrons ensuite les relectures avisées des amis pour mettre tout cela vraiment en ligne...
Bonne nuit,
Fred.
#6533 Re : Café mathématique » Complément dans "jeux mathématiques » 04-07-2007 20:40:31
Waouh, tu as travaillé extrêmement vite!
Et c'est très bien. Puisqu'il faut que ce soit presque parfait, voici quelques critiques en vrac en lisant :
* sur la page d'accueil, à vous de trouver la suite (sans s).
* dans la page des suites farfelues, le dernier lien est erroné.
* enigme du nombre à neuf chiffres : changer le "cing" en "cinq", "soit" en "soient" à partir de deux, et le lien pour la réponse envoie sur le craps.
* Les poignées de mains : il y a un (*) en trop, la dernière phrase peut être omise puisqu'on a déjà écrit cette condition juste au-dessus, il faut enlever la majuscule à Montrer et mettre une virgule à la place du point.
Dans la correction, remplacer 'est serré' par 'ait serré', et 'tout les anciens' par 'tous les anciens'.
* le partage équitable : remplacer "ILs" par "Ils", le lien vers la solution est erroné, et il faut remplacer 'Sels' par 'Seuls'.
* le craps : tu peux enlever la dernière phrase qui n'est pas un lien et ne laisser que le lien vers la solution, puisqu'il s'agit deux fois de la même phrase. Dans la solution, il faut écrire "pari" et non "parie", remplacer
deuxiième par deuxième... Quant aux images, je préfèrerai quelle soit sur le site dans la rubrique "images" et non dépendantes de shitalshow.
* pour l'embauche chez microsoft : je crois qu'il faut proposer les deux problèmes, avec "au pire" ou bien "en moyenne". Pour la réponse dans le cas pire que tu as déjà donné, il faut légèrement retravaillé ce que John a écrit pour ne pas faire référence à d'autres posts (k-lys), ou éviter les [ndlr:...]
* sincères et menteurs : le lien vers la correction est erronée.
* condamnés, bourreaux, chapeaux : dans la solution, il y a une erreur pour le titre (c'est écrit "le partage équitable"), et je crois qu'on peut améliorer (aérer) la présentation, par exemple par des passages à la ligne
pour les *.
En tous les cas, même si cela fait un certain nombre de critiques, je suis très content que tu te sois occupé de cela si vite et si bien. Tu pourrais bien donner un second souffle au site!
Concernant la réponse de John, elle n'est pas si inappropriée car dans la rubrique "jeux mathématiques", il y a en effet deux pages consacrées aux blagues. Et Cleopatre pourrait très bien ajouter cette gentille contrepeterie dans ces pages (et corriger l'horrible "répons" en "répond" dans la blague du mathématicien fou qui monte dans le bus).
Fred.
#6534 Re : Café mathématique » Bilan du site (année 2006) » 04-07-2007 15:21:55
Parfait. Je t'écris sur ton e-mail.
Fred.
#6535 Re : Café mathématique » Bilan du site (année 2006) » 04-07-2007 13:07:47
Salut Cleopatre & vbnul,
Le but de départ du site était de mettre à la disposition de tous
un certain nombre de documents autour des mathématiques,
au gré des envies des rédacteurs. BibM@th est un
acronyme pour "Bibliothèque des Mathématiques". Ainsi
est né le dictionnaire, les biographies, les pages consacrées
à la cryptographie, etc...
J'ai ajouté un forum pour donner un peu de vie au site,
et c'est effectivement assez intéressant.
Je ne comprends pas trop la suggestion d'en faire
un "wikipedia des mathématiques". D'abord, parce que
wikipedia a toute une partie consacrée aux mathématiques,
et que je ne vois pas l'intérêt de faire doublon (et de faire
sans doute moins quantitativement). De plus,
je ne voudrais pas que "n'importe qui" puisse modifier
des pages du site "n'importe comment".
En revanche, je suis tout à fait favorable à ce
que de nouvelles personnes écrivent ou complètent
des pages déjà existantes. C'est ce qui a commencé
avec Yoshi, qui développe tout un pan consacré aux carrés
magiques. Avant que les pages soient accessibles
à tout le monde, nous discutons pour savoir s'il n'y a pas
tel point à corriger ou à améliorer, un peu comme des
discussions entre un auteur et son éditeur...
Il y a une foule de choses immédiates que l'on pourrait
incorporer au site, par exemple :
* modifier les pages "jeux mathématiques" pour y incorporer
les dernières énigmes qui ont été postées et résolues sur le forum.
Voila quelque chose de simple et qui donnerait encore plus son sens
au fait d'avoir un forum sur le site.
* écrire des corrigés des dernières épreuves du bac ou du brevet,
pour la rubrique des mathématiques en ligne.
* ajouter des définitions qui ne figurent pas dans le dictionnaire :
j'ai un petit "mouchard" sur le site qui fait que quand quelqu'un
cherche une définition et ne la trouve pas, je suis prévenue.
Et croyez-vous, j'ai un grand fichier de mots non trouvés!
* j'aimerai consacrer une partie du site uniquement
au théorème de Pythagore, avec son histoire, le plus grand
nombre de définitions possibles, etc... Il faudrait commencer le
travail...
Pratiquement, tant qu'il n'y a qu'un petit nombre de rédacteurs, je crois que l'on peut tout faire localement.
Par exemple, si quelqu'un veut ajouter des définitions au dictionnaire, je lui donne le format de fichier
à compléter, il me l'envoie, je relis et on met en ligne. Si quelqu'un veut incorporer les dernières énigmes
des jeux mathématiques, je lui donne les clés de cette rubrique pour quelques temps.
Si le nombre de rédacteurs explose, il sera toujours temps d'envisager quelque chose de plus compliqué.
Fred.
#6536 Re : Entraide (supérieur) » question sur une leçon de capes [Résolu] » 04-07-2007 12:22:21
Bonjour,
Dans le même ordre d'idées, tu peux proposer la désintégration radioactive :
(dN/dt)=-kN
où N est le nombre de particules à l'instant t
k est la vitesse de désintégration radioactive.
Bien sûr, la solution est connue, mais la méthode d'Euler permet d'obtenir
des approximations de la fonction exponentielle.
Fred.
#6537 Re : Café mathématique » Design du forum » 03-07-2007 22:43:19
Salut Cléopatre,
Ce qui manque au site, c'est à mon avis plutôt du contenu que de la forme.
Si tu veux y apporter ta pierre comme Yoshi le fait actuellement
pour les carrés magiques, il n'y a pas de problèmes...
Fred.
#6538 Re : Café mathématique » 20,25/20 ! au BAC S qu'en pensez-vous ? » 03-07-2007 14:45:29
Ah, cela, Mathis, c'est un sujet assez délicat...
La règle n°1 du bac, c'est que les résultats de l'année
doivent être meilleures que ceux de l'année précédente.
Je ne suis pas très vieux, je n'ai pas encore l'age de
dire : "c'était mieux avant!".
Je ne suis pas de ceux qui pensent que les gens qui passent
le bac maintenant sont soudainement plus stupides que
ceux qui le passaient il y a dix ou trente ans. Simplement,
pour prendre l'exemple des mathématiques, on ne leur laisse
pas la chance d'être aussi bon. Par exemple, une personne qui a
passé le bac cette année a eu beaucoup moins d'heures
de maths dans sa scolarité au collège et au lycée que quelqu'un
qui l'a passé il y a 10 ans (l'équivalent du volume horaire
des maths en seconde). Evidemment qu'on ne peut pas envisager
les mêmes résultats! Au vu des déclarations récentes du ministre,
cela ne devrait pas s'arranger!
Le mode de correction a aussi lui bien changé. Les baremes
sont souvent assez élevés, les correcteurs ont des consignes
parfois délirantes (par exemple, mettre des points quand on
demande le tracé d'une courbe représentative dès que l'élève a tracé
les axes).
Est-ce bien, est-ce mal? J'ai personnellement l'impression
qu' "on" ne prend pas la bonne direction. Mais je dois être
minoritaire...
Fred.
#6539 Re : Café mathématique » Design du forum » 03-07-2007 12:02:26
Salut,
J'ai été jeté un coup d'oeil à la liste des styles proposés, un certain nombre
sont particulièrement laids!
Peut-être le style web 2.0 serait plus approprié ici???
Ou alors un style retravaillé pour être en adéquation avec le reste du site.
Ce qu'il faudrait au moins, c'est retravailler la largeur du forum
pour que ce ne soit pas plus large que le bandeau d'en haut!
Fred.
#6540 Re : Entraide (supérieur) » Espace vectoriel [Résolu] » 03-07-2007 11:53:03
Bonjour,
D'abord, j'imagine que l'espace vectoriel en question est réel, sinon ce n'est pas vrai (par ex, (i Id)o(i Id)=- Id, et ce même si la dimension de l'espace est impaire).
On suppose donc qu'on a un espace vectoriel de dimension finie sur R et f un endomorphisme de E vérifiant fof=- id.
Voici quelques étapes pour une preuve :
* si x est élément de E non nul, (x,f(x)) est une famille libre;
* le plan engendré par (x,f(x)) est stable par f;
* si y n'est pas dans ce plan, alors la famille (x,f(x),y,f(y)) est libre ;
* utiliser une récurrence, ou mieux, si tu connais la dualité, raisonner par passage à l'application duale.
Fred.
#6541 Re : Café mathématique » 20,25/20 ! au BAC S qu'en pensez-vous ? » 03-07-2007 11:43:33
Salut Mathis,
Pourquoi es-tu perdu?
*Comment est-ce possible? A cause des options qui te permettent d'avoir des point supplémentaires,
hors du barême....
*Qu'est-ce que cela veut dire? Que le candidat est très brillant.
Ce n'est pas nécessairement un génie, mais il réussira très bien
ses études supérieures!
Bon, et en plus, il est dans le même lycée que celui où j'étais...
Fred.
#6542 Re : Entraide (supérieur) » bijection d'un espace à un autre? [Résolu] » 02-07-2007 12:42:33
Oui, on peut dire que f est un difféomorphisme de I sur J.
Amitiés,
Frédéric.
#6543 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » fonction Lipschitzienne » 02-07-2007 07:30:39
f(x)=x² n'est pas lipschitzienne car si tu fais :
f(n+1)-f(n), tu obtiens 2n+1, qui tend vers +infini, alors que si elle l'était, on aurait
|f(n+1)-f(n)|<=k|n+1-n|=k.
Pour racine(x), cette fois la non-lipschitzinité est en 0:
Si |rac(x)-rac(0)|<=k|x-0|, on aurait alors (rac(x)/x)<=k, ce qui est faux quand x tend vers 0.
Fred.
#6544 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Enigme : Les condamnés, le bourreau et les chapeaux » 27-06-2007 14:59:34
Je me rends compte que la solution à cette énigme n'a pas encore été donnée, donc je m'y colle.
Le dernier condamné, voiyant le chapeau de tous les autres sauf le sien, compte par exemple le nombre de chapeaux blancs.
S'il en voit un nombre pair, il dit "blanc". S'il en voit un nombre impair, il dit "noir"!
Il a une chance sur deux de mourir ainsi.
L'avant dernier condamné voit lui tous les chapeaux qui le précèdent. Supposons qu'il voit un nombre pair de chapeaux blancs :
* si le dernier condamné a dit "blanc", c'est qu'il voyait lui aussi un nombre pair de chapeaux blancs. L'avant-dernier condamné dit
donc "noir".
* si le dernier condamné a dit "noir", c'est qu'il voyait lui un nombre impair de chapeaux blancs. Le chapeau de l'avant-dernier condamné est donc blanc, ce qu'il dit.
Bien sûr, la situation est symétrique s'il voit un nombre impair de chapeaux blancs. L'avant-dernier condamné est sauvé!
On peut remonter ainsi toute la file, car on dispose toujours de l'information : "parité du nombre de chapeaux blancs que voyait le
condamné disposé derrière dans la file".
Bon courage pour les nouvelles énigmes de Yoshi,
Fred.
#6545 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Enigme : Les condamnés, le bourreau et les chapeaux » 22-06-2007 16:38:47
Des matheux stressés....je ne suis pas sur d'en connaitre!
Et pourtant, des matheux, j'en connais!
Fred.
#6546 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Enigme : Le partage équitable » 22-06-2007 14:17:31
Joli problème d'arithmétique Yoshi...
Juste un conseil : n'oubliez pas l'information contenue dans les deux premières phrases du problème!
Fred.
#6547 Re : Entraide (supérieur) » endomorphismes autoadjoints à coefficients complexes [Résolu] » 22-06-2007 14:13:03
Salut,
C'est la même chose, et la preuve est même plus facile.
Elle est basée sur le fait que si lambda est une valeur propre de u
associée au vecteur propre y, alors l'hyperplan des vecteurs orthogonaux
à y est u-stable.
Bien sûr, matriciellement, il ne faut pas oublier de prendre l'adjoint de la transposée!
Amitiés,
Frédéric.
#6548 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Enigme - Embauche chez Microsoft » 21-06-2007 21:25:50
Quel champion ce John!!!
#6549 Re : GeoLabo, laboratoire de géométrie » Problème de téléchargement » 16-06-2007 20:16:36
Bonsoir dindinahmed,
Voici la démarche à suivre. Tu télécharges (par enregistrer sous) chez toi le fichier .glb
Ensuite, tu exécutes GeoLabo que tu as déjà installé sur ta machine.
Et dans GeoLabo, dans le menu fichier, tu choisis "Ouvrir..." et tu ouvres le fichier .glb
Il n'y a pas de raisons pour que cela ne fonctionne pas!
Fred.
#6550 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Enigme - Embauche chez Microsoft » 16-06-2007 20:13:19
Salut,
Evidemment, le problème posé avec "en moyenne" au lieu de "au pire" est probablement très difficilement
soluble, sauf à faire une optimisation comme John l'a proposé.
En revanche, si on écrit "au pire", ce qui était vraisemblablement le cas lors des test d'embauche,
c'est la réponse de k-lys qui est la meilleure!
Pour l'anecdote, chez microsoft, il proposait de prendre un pas de 10 constant...
Fred.