Forum de mathématiques - Bibm@th.net

john

Membre actif

Inscription : 10-02-2007

Messages : 543

Rationnels. [Résolu]

Hello,
Comment démontrer (ça me semble impossible par cette chaleur !) que tout intervalle véritable (= non réduit à 1 seul point) de lR contient au moins un rationnel ?
Remerciements chaleureux anticipés.
A+

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 404

Re : Rationnels. [Résolu]

Salut

Une idée comme ça qui me vient en te lisant...
Si un intervalle de lR, n'est pas réduit à un point, c'est qu'il en contient au moins 2. Or la notion de réels consécutifs n'existe pas, je crois, par conséquent tu dois pouvoir montrer avec une technique dérivée de celle de la diagonale de Cantor, il y a au moins un rationnel. coincé entre les deux, entier décimal ou rationnel pur...supérieur au plus grand des deux précédents et il y aura avec un autre réel entre les deux rationnels les plus grands: on aura bien deux réels encadrant un rationnel : q1 r1 q2 r2 q3.
Mais j'ai comme l'impression que mon idée est douteuse... !

@+

PS Quelle chaleur ? Ici, il a fait correct, et ce soir, le fond de l'air est même frais !

john

Membre actif

Inscription : 10-02-2007

Messages : 543

Re : Rationnels. [Résolu]

Merci pour cette réponse yoshi.
En fait, je cherche une démo. basique de chez Basik. Je sais évidemment que tout réel est la limite d'une suite de rationnels et donc, aussi près que l'on soit de ce réel, on trouvera tjs des rationnels (et à plus forte raison entre 2 réels). Le problème, c'est que pour démontrer ceci, il faut déjà être très avancé en analyse.
Comme je commence au niveau 0 en topo., je ne m'autorise pas l'utilisation de résultats acquis antérieurement. Or, au cours d'une démonstration, je trouve dans mon bouquin de topo. "Comme tout intervalle véritable de lR contient certainement un nombre rationnel...".
Il doit (?) bien exister une réponse purement arithmétique :
Quels que soient les réels r1 < r2, il existe 2 entiers m et n tels que n.r1 < m < n.r2.
A+
PS : Le problème n'est peut-être pas lié à la chaleur mais au manque de lumière qui sévit au fond de ma cave, seul endroit de la maison où je puisse encore travailler...

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 404

Re : Rationnels. [Résolu]

Salut,

Ok, dans ces conditions, je n'ai rien dit ! Tu te places dans un cadre très spécifique !
Mais << contient certainement... >> n'est pas pour moi synonyme de << de façon certaine >>, ça n'exprime pas une certitude mais une probabilité, aux "erreurs de traduction", près si ton bouquin est traduit...

Tout à fait autre chose, comme je ne veux pas faire intrusion dans ta vie privée et que le système des messages personnels ou privés n'existe pas ici, puis-je t'envoyer un mél (à l'adresse dispo sur bibmath) ? Il s'agit de te donner des éléments complémentaires apportant un éclairage différent sur certains posts récents...

@+

john

Membre actif

Inscription : 10-02-2007

Messages : 543

Re : Rationnels. [Résolu]

Comme toi j'ai eu un doute sur la signification de "certainement". Mais je suis convaincu qu'il signifie bien "de manière certaine" dans cette démonstration (sinon elle ne démontrerait rien !).
Ne retire rien à ta réponse car elle m'a donné une idée pour faire des "mathématiques avec les mains" ce qui m'a permis d'avancer :
On se place dans l'intervalle réel I = ]0..1[ en bijection avec lR si j'ai bonne mémoire. Puis on considère les suites des décimales de 2 réels r1 < r2 de I. Il est très facile de voir qu'on peut "insérer" autant de suites cycliques qu'on le veut "entre" ces 2 suites (cycliques ou non). C'est bien suffisant pour l'objectif visé. J'ai quand-même ressorti mes Cagnac poussiéreux pour revoir les coupures de Q. Encore merci.

Pour le dernier point, pas de pb. Mais je pensais que quiconque pouvait le faire en cliquant simplement sur le pseudo. car j'ai déjà reçu des messages d'élèves sur MSN.
A+

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 404

Re : Rationnels. [Résolu]

Salut,

Content de t'avoir donné une piste !
Mais quand tu écris :

Il est très facile de voir qu'on peut "insérer" autant de suites cycliques qu'on le veut "entre" ces 2 suites (cycliques ou non).

par cyclique, tu entends périodique ?

@+

[EDIT] Mauvaise question, puisqu'une "suite décimale périodique illimitée" est un rationnel... Je la pose quand même !

john

Membre actif

Inscription : 10-02-2007

Messages : 543

Re : Rationnels. [Résolu]

Yes Sir !
En fait, je crois que tu as raison, la bonne dénomination, c'est 'périodique'. On parle plutôt de groupe cyclique et de suite périodique sur www.

Mais là franchement (je cite), je ne vois pas de quoi on parle :
"Notre méthode est basée sur quelques généralités d'algèbre homologique, concernant les limites projectives des complexes et sur le fait que de telles algèbres satisfont à l'excision en cohomologie cyclique périodique".
Je me sens subitement tout petit...

A+

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 404

Re : Rationnels. [Résolu]

Boufre, fichtre !

C'est du français, ça ?
Bin, on est deux à se sentir tout petits...
Cohomologie... jamais vu ce mot-là de ma vie...  Et homologique, non plus mais là je pense que ça vient de "homologue", ce qui ne me dit pas plus ce que signifie "algèbre homologique" d'ailleurs !
Va falloir ce que cherche ce que signifie ce "pathos", ce qui n'est pas gagné !

Vrai, t'as de ces lectures !!!

@+

[EDIT]
Il y a des tas de liens sur Google avec cohomologie. D'un point de vue purement syntaxique, il ne m'était pas venu à l'esprit que cohomologie = préfixe co + homologie.
Vaut mieux que je regarde ça de plus près demain matin de bonne heure : j'aurais la journée pour m'en remettre ;-)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Rationnels. [Résolu]

Salut,

  En fait, le vrai problème qu'il y a ici, c'est comment définir IR....
Au tout début, il y a les entiers naturels... ca ce n'est pas trop dur à définir,
à partir de 0 et de la notion de successeur par exemple (voir par exemple Peano sur le site).
Ensuite, on définit les entiers relatifs. Pas trop dur non, on symétrise pour l'addition.

Après, on définit les rationnels. C'est toujours la même idée de symétrisation, mais
cette fois pour la multiplication. Le seul point auquel il faut prendre garde est que 1/2=2/4.

  Mais ensuite, qu'est-ce qu'un nombre réel???? Pour répondre à la question initiale de John,
on a besoin de définir un nombre réel. Il y a plusieurs possibilités :
*par les coupures de Dedekind,
*par les suites de Cauchy,
*en admettant, comme on le fait en général en première année après le bac,
l'existence d'un unique ensemble ayant certaines propriétés (la plus importante
pour l'analyse est celle de la borne supérieure).
  Dans les 3 cas, il n'est pas dur de donner une réponse à la question de John.

  Une remarque : la construction des entiers ou des rationnels est purement algébrique.
En gros, on peut construire le corps des fractions d'un anneau. L'analyse apparait dans
la construction des réels.

  Quel bouquin lis-tu John??? Ca me semble bien hardi pour débuter en topologie???

Fred (de retour, mais sans doute par intermittence!).

john

Membre actif

Inscription : 10-02-2007

Messages : 543

Re : Rationnels. [Résolu]

Diable un revenant !

Je profite du calme plat sur le forum... au cas où mes interrogations éveilleraient l'intérêt d'un matheux désoeuvré.
Mon bouquin de topo : le choix a été motivé par les dessins. Il y a UNE figure en moyenne par chapitre !!! Remarquable...

Claude BERGE - "Espaces topologiques - Fonctions multivoques" 2e Ed. Dunod - Paris - 1966.

La question portait sur la démo. de :
"Une famille localement dénombrable d'intervalles véritables de lR est dénombrable".

Pour démontrer ceci, on se sert des rationnels et comme chacun des intervalles en contient un etc.
C'était un peu rapide pour ma petite tête qui pensait que la topo remettait toutes les pendules à zéro !
Et de me demander :

Si un intervalle de lR contient 2 irrationnels, contient-il forcément un rationnel ?

Considérant un irrationnel de ]0, 1[ "simplement" comme une suite infinie de chiffres de {0,... 9} ne présentant pas de périodicités, il suffisait de tronquer convenablement le plus grand des 2, pour obtenir un rationnel compris entre les 2 irrationnels (ça, ce n'est certainement pas de la topo, à peine des mathématiques... mais c'est du concret qui me parle).

Merci pour ta réponse Fred... je viens juste de revoir dans mes Cagnac les constructions dont tu parles.

A+