Forum de mathématiques - Bibm@th.net

hectors

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Produit de Cauchy

Bonjour à tous.

J'ai du mal à comprendre une (simple) étape de la démonstration du produit de Cauchy.

Il est noté que   [tex]  \sum_{k=0}^n [/tex]w_k= [tex] \sum_{k=0}^n  \sum_{p=0}^k [/tex]u_p v_k-p

Pourtant quand je développe, je trouve que [tex] \sum_{k=0}^n  \sum_{p=0}^k [/tex]u_p =  [tex]  \sum_{k=0}^n [/tex] ( u₀ v_k + u₁ v_k-1 + u₂ v_k-2 +...+u_k-1 v₁ + u_k v₀ )

(C'est la que je coince) = u₀ v₀ + u₁ v_-1 +...

C'est pas possible de trouver v_-1 , je ne vois pas où est mon erreur. Pourriez-vous m'éclairer s'il vous plait?

Merci d'avance.

PS: Voici le lien de la démonstration faite en cours, c'est à la Page 26 du poly
http://www.licence.math.upmc.fr/telecha … chiers/9/7

Dernière modification par hectors (18-06-2014 17:55:34)

Fred

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Re : Produit de Cauchy

Bonjour,

  C'est parce que ta somme (à l'intérieur) ne comporte que [tex]k+1[/tex] termes, et donc si k=0, elle ne comporte que 1 terme et on n'a pas le terme [tex]v_{-1}[/tex].
Ecris plutôt, en détaillant d'abord la somme sur [tex]k[/tex],
[tex]\sum_{k=0}^n \sum_{p=0}^k u_pv_{k-p}= \sum_{p=0}^0 u_p v_{0-p}+\sum_{p=0}^1 u_p v_{1-p}+\dots+\sum_{p=0}^n u_pv_{n-p}[/tex]
[tex]=u_0v_0+(u_0v_1+u_1v_0)+\dots+(u_0v_n+u_1v_{n-1}+\dots+u_nv_0)[/tex]

F.

hectors

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Re : Produit de Cauchy

Merci pour votre réponse.

Vous voulez dire que l'on peut intervertir l'ordre des sommes, et donc que:

[tex] \sum_{k=0}^n  ( \sum_{p=0}^k [/tex]u_p v_k-p ) =  [tex] \sum_{p=0}^k  ( \sum_{k=0}^n[/tex]u_p v_k-p )

Pourtant le résultat n'est pas le même...

Merci Fred.

Fred

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Re : Produit de Cauchy

Non, ce n'est pas ce que j'ai dit (d'ailleurs, la double somme de droite n'a aucun sens!).
Ce que j'ai dit, c'est que la double somme, je l'écris :
[tex]\sum_{p=0}^0 u_pv_{0-p}+\sum_{p=0}^1 u_pv_{ 1-p}+\dots[/tex]
c'est-à-dire que j'écris sans le symbole somme d'abord la somme sur k.

hectors

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Re : Produit de Cauchy

Je viens de comprendre, merci.