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JeanMars

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Injection de R sur N

Bonjour,

dans la suite logique de ce thread sur la Dénombrabilité de Q, sur le fait que l'on peut trouver une injection de [tex]\mathbb{Q}[/tex] dans [tex]\mathbb{N}[/tex], j'allais proposer à mon fils de lui montrer que l'on ne peut pas faire de même pour [tex]\mathbb{R}[/tex] et [tex]\mathbb{N}[/tex]...
Mais il m'a alors exhibé la fonction construite de la façon suivante:
- On associe au développement décimal d'un réel un entier utilisant uniquement les chiffres, 0,1,2,8 et 9
- On procède ainsi:
  - Si le réel est négatif, on commence le nombre entier par 2 (on ignorera par la suite de considérer les réels négatifs, ils ne posent pas de problème particulier),
  - On remplace la virgule par le chiffre 0
  - On remplace le chiffre 0 par le chiffre 1
  - Pour un chiffre entre 1 et 9, on écrit simplement le nombre de fois le chiffre 8 ou 9 (et on alterne)

Exemples:
1,0 --> 901
10 --> 91
1 --> 9
-1 --> 29
1,1 --> 908
1,2 --> 9088
1,23 --> 9088999
0,33333... (=[tex]\frac{1}{3}[/tex]) --> 10999888999888...999888.......

Et j'en cherché sans succès à trouver 2 réels qui donnent le même entier. Pourtant ça doit bien exister !!!
Et comment expliquer ça à mon fils (il a 13 ans, mollo sur les explications trop compliquées quand même :-))
Merci,
Jean

Glozi

Invité

Re : Injection de R sur N

Bonsoir,
Le problème est en amont de l'injectivité, c'est plutôt est ce que la définition de la fonction fait sens ? Ici par exemple la chose que tu trouves pour $1/3$ n'est pas un entier (un élément de $\mathbb{N}$). Si tu ne vois pas pourquoi il ne s'agit pas d'un entier, essaye d'écrire le successeur de ce "nombre".
Bonne soirée

JeanMars

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Re : Injection de R sur N

[tex][/tex]Bonjour Giozi,

effectivement, je m'en veux de ne pas l'avoir vu! L'image de 1/3 par cette "fonction" n'est pas un entier puisque plus grand que n'importe quel entier arbitrairement choisi!

Merci et bon dimanche,
Jean