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Bonjour
J'ai l'impression que le mieux pour démontrer que $K[[T]]$ est intègre est de raisonner sur l'ordre des séries formelles (le plus petit coefficient non nul). Pour montrer que $TK[[T]]$ est l'unique idéal maximal, on peut commencer par montrer que c'est un idéal maximal en remarquant qu'un idéal plus grand pour l'inclusion contient nécessairement les constantes non nulles, qui sont inversibles car $K$ est un corps, puis qu'un idéal maximal est forcément inclus dans $TK[[T]]$.
Je ne comprends pas vraiment ta définition de $v_T$ : est-ce que $I^n=T^nK[[T]]$? De plus, j'ai l'impression que dans ta définition de $d_T$, on devrait avoir $d_T(x,y)=2^{-v_T(x-y)}$ pour avoir une distance, avec la convention $2^{-\infty}=0$.
Ensuite, j'ai l'impression que $A$ est muni de la distance $d_S$ et $B$ de la distance $d_T$.
Un élément de $K((T))[[S ]]$ est une série formelle $\sum_i\frac{P_i(T)}{Q_i(T)}S^i$ où les $P_i(T)$ et $Q_i(T)$ sont des séries formelles sur $K$.

Bonjour
Tu peux essayer de voir ce qui se passe en supposant $f$ polynomiale.

Bonjour
Il faut poster ta question dans le corps du message pour plus de lisibilité.
Si $E$ est un espace vectoriel, et $A$ une partie quelconque de $E$, $Vect(A)$ est le sous-espace vectoriel de $E$ engendré par $A$, c'est-à-dire le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ qui contient $A$. En particulier, c'est un espace vectoriel. Une famille génératrice d'un espace vectoriel $E$ est une partie de $E$ qui engendre $E$, c'est-à-dire telle que le plus petit sous-espace vectoriel qui la contient est $E$ tout entier. Il n'y a aucune raison pour que cette famille soit un espace vectoriel. Par exemple, avec les notations de ma première phrase, $A$ est une partie génératrice de $Vect(A)$.
Par ailleurs, un espace vectoriel n'a pas qu'une seule famille génératrice, donc on ne peut pas parler de la famille génératrice d'un espace vectoriel.

Bonjour
Pour retrouver le domaine de définition des fonctions arccosinus et arcsinus, tu peux regarder les valeurs que peuvent prendre le cosinus et le sinus d'un nombre réel.

Bonjour
Le mieux est d'utiliser les congruences. Soit $N$ un entier naturel non nul. $N$ s'écrit sous la forme $N=\sum_{k=0}^na_k10^k$ (c'est la décomposition en base 10, par exemple, $234=2\times100+3\times10+4\times1$). Ici, les $a_k$ sont les chiffres de $N$, $a_0$ étant le chiffre des unités.
Maintenant on regarde les congruences modulo $11$ en se rappelant que la relation de congruence est compatible avec les opérations : si $a \equiv a' (m)$ et $b \equiv b' (m)$ alors $a+b \equiv a'+b'(m)$ et $ab \equiv a'b' (m)$.
On a $10 \equiv -1 ~(11)$ donc $10^k \equiv (-1)^k ~(11)$.
Ainsi, $N=\sum_{k=0}^na_k10^k \equiv \sum_{k=0}^n a_k (-1)^k ~(11)$
Or, être divisible par $11$ revient à être congru à $0$ modulo $11$, cela prouve le critère de divisibilité par $11$.
On démontre de même le critère de divisibilité par $9$ en utilisant le fait que $10 \equiv 1(9)$.

Bonjour
A priori, il s'agit de la relation de forcing.

Bonjour
La probabilité d'obtenir une certaine séquence est strictement positive. Donc si tu réitères la tentative un nombre arbitraire de fois, la probabilité d'obtenir la séquence au moins une fois tend vers 1. La probabilité d'obtenir la séquence voulue à un moment est 1. On dit que l'événement "obtenir la séquence au bout d'un certain nombre d'itérations" est presque sûr.

Bonjour
Il n'y a pas de notion mathématique appelée "Trioz". En cherchant sur google je suis tombé sur des problèmes de maths relatifs au calcul en base 3. Il faudrait donc regarder le principe de numération en base quelconque pour résoudre votre problème.
Par exemple, on a l'habitude de numéroter en base 10. Cela signifie que le nombre dont l'écriture en base 10 est 122 vaut $(1 \times 10 \times 10) + (2 \times 10) + (2 \times 1)$. En base 3 la même écriture 122 vaut $(1 \times 3 \times 3) + (2 \times 3) + (2 \times 1) = 1 \times 9 + 2 \times 3 + 2 = 17$
Dans ces problèmes, les chiffres 0, 1 et 2 sont remplacés par d'autres symboles.

On avait discuté de la distinction entre limite pointée ou épointée ici, et j'avais donné un lien vers l'article de Daniel Perrin.

Bonjour
Tu sais que $f(-2)<0$ et $f(0) \geq 0$.
Tu peux distinguer les cas suivant que $f(0)>0$ ou $f(0)=0$.
Dans le premier cas, tu peux utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (je ne sais pas si tu l'as vu) pour prouver qu'il existe une racine, puis tu conclus en disant que cette racine ne peut être double puisque la fonction $f$ change de signe. Dans le deuxième cas, tu peux calculer $m$ et vérifier qu'il y a bien deux racines distinctes.

Bonjour
Mes cours sur les distributions remontent à loin, mais ne pourrais-tu pas dire que $\frac{\varphi(\frac{1}{n})-\varphi(-\frac{1}{n})}{\frac{2}{n}}=\frac{1}{2}\frac{\varphi(\frac{1}{n})-\varphi(0)}{\frac{1}{n}}+\frac{1}{2}\frac{\varphi(0)-\varphi(-\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}$, puis passer à la limite, et remarquer que le premier membre de l'égalité vaut $\frac{1}{2}n[\varphi(\frac{1}{n})-\varphi(-\frac{1}{n})]$?

Bonjour
Pour le concours bac+5, la liste des sujets sera vraisemblablement reconduite. Pour le concours bac+3, ce ne sera pas une épreuve de leçon mais  sur " la résolution d’un exercice et la présentation de la notion mise en jeu et des notions connexes. Le candidat s’appuie sur ses connaissances et sur les documents fournis par le jury.", comme indiqué ici.